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求证 平行四边形一组对边中点的连线必与对角线互相平分

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热心网友

证明:平行四边形ABCD  E、F分别为AD和BC中点O为EF与对角线BD的交点

  因为 AE平行且等于BF

所以 ABFE为平行四边形(平行四边形的判定)

所以 AB平行且等于EF 

在△ABD 中 E为AD边的中点

所以EO 为△ABD 的中位线

所以EO=1/2AB   O为BD边中点(中位线定理)

同理在△BCD中可得OF=12/DC

又由DC=AB

所以 O点平分BD 和EF

同理可证EF与AC的交点平分AC

结论的证

热心网友

设平行四边形为ABCD,AC,BD相交于点O,先证明三角形ABD和△BCD全等
得到AB=CD,再证明△AOB和三角形COD全等就可以了

热心网友

解:因为是平行四边形,所以对边中点连线,将原形等分,那么一定将对角线等分。(相似三角形,或三角形中位线定理。

热心网友

1、一楼和二楼的证明是错误的,因为都假定了EF过AC、BD的交点O。三楼的证明需要连线。其实用三角形的中位线定理,此题很简单。
2、证明:
设□ABCD是平行四边形,E、F分别是DC、AB的中点,连接EF交AC于O,
则DC‖=AB,AE=1/2AB,DF=1/2DC,AD=BC
∴AE‖=DF,
∴□AEFD是平行四边形,
∴EF‖=AD,
在△CAD中F是CA的中点,
有OF‖=1/2AD,OA=OC,
在△ABC中E是AB的中点,
∴OE=1/2BC
OE=OF
故EF和AC互相平分于O。
同理,设EF和BD相交于O',可以证明EF和BD平分于o=O'。
3、这里没有要求证明O和O'重合。如果把题目换成是“平行四边形对边中点的连线必被·对角线的交·点·平分”,那么题就难的多了,就得证明O和O'重合。你试试证明一下。
4、其实平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点O,是它的重心,O点平分过O点的任意直线在一组对边AB、CD(或AD、BC)所截成线段KG或K'G'。想想看,为什么?很好证明的。

热心网友

设平行四边形ABCD,连结对角线BD,点E,F分别是边AD,BC的中点,连结EF,BE,DF。
∵点E,F分别是边AD,BC的中点
∴DE=1/2AD=1/2BC=BF
而四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
即DE//=BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵EF,BD是平行四边形BEDF的2条对角线
∴EF,BD互相平分(平行四边形对角线互相平分)

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