工程优化设计与Matlab实现——无约束问题的导数解法(共轭梯度法)_百度...
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发布时间：2024-12-17 15:06
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时间：2024-12-17 16:25
共轭梯度法，源自于“轭”这个词语的抽象延伸，意指在牛拉车的场景下，两头牛之间的协作关系。此方法巧妙地结合了最速下降法与牛顿法的长处，通过梯度方向构建共轭方向，以求解无约束问题的导数解。
共轭梯度法的核心是“共轭”概念。这一术语在数学中意味着成对，即通过特定关系成对的元素。具体而言，若有一个对称正定矩阵G，两个向量v与w，满足v'Gw=0，则称v与w为G的共轭向量。如果存在一组向量v1、v2、...、vn，满足任意相邻两个向量之间的点积为0，则这组向量被视为共轭。
当G为单位矩阵时，共轭向量就是正交向量，而正交是共轭的一种特殊情况。共轭概念可视作将向量v通过矩阵G线性变换后，与原向量正交。
在共轭梯度法中，共轭方向与函数极值的关系至关重要。通过二次泰勒展开，目标函数可以近似为二次函数，从而转换为求解二次函数极值点的问题。以二元二次函数为例，设函数为f(x,y)，选取初始点(x0, y0)和任意搜索方向u，一维搜索得到步长λ，满足f(x0 + λu)为极小值。此时，搜索方向u与梯度方向正交，意味着找到了极小值点的方向。
在一般情况下，满足共轭条件的迭代方向为vi+1=vi + αi * (g'(vi) - g'(vi-1))，其中g'(vi)是vi的梯度。通过构造相邻迭代方向之间的共轭关系，共轭梯度法在每次迭代中仅需求解一次梯度，从而在求解过程中显著减少了计算量。
步长的计算是共轭梯度法中的关键步骤，通常采用一维搜索的方法。基于共轭方向的性质，可以推导出步长的表达式，使得在给定方向上找到最优步长成为可能。
共轭梯度法的主要特点是简化了牛顿法的计算复杂度，同时保持了相对于最速下降法更好的精度。它通过构建共轭方向，综合了梯度信息与迭代点之间的关系，从而在无约束优化问题的解法中展现出高效与精确的性能。
举例说明，以目标函数f(x) = x^2 + 2x + 1，初始点x0 = -1为例，通过共轭梯度法求解极小值点和极小值。此过程涉及定义目标函数，实现共轭梯度法程序，以及通过一维搜索方法求取步长，最终得到极小值点和极小值的具体数值。
综上所述，共轭梯度法作为一种高效的无约束优化方法，通过构建共轭方向，简化计算过程，同时保持了求解精度，成为工程优化设计与Matlab实现中的重要工具。
