...△ABC中,∠ABC=90°,AB是⊙O的直径,⊙O交AC于点D,取CB的中点E,DE的...
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（1）证明：如图1，连接BD，OD，OE．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∵E是BC中点，
∴DE=EC=EB．
在△ODE和△OBE中
OD＝OBOE＝OEDE＝BE，
∴△ODE≌△OBE（SSS）．
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．
（2）解：∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD．
∴△ODB是等边三角形．
∴∠DOB=60°．
∴∠A=30°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°．
∴∠CBD=30°．
∴CD＝12BC，BC＝12AC．
设CD=x，BC=2x，
∵AD=6，
∴2x＝12(6+x)．
∴x=2．
∴BC=4．
（3）解：如图2，连接BD，OE．
∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴BDCD=2．
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴ADBD=2．
设CD=a，BD=2a，AD=4a，
∴AC=5a．
∵O是AB中点，E是BC中点，
∴EO∥AC，OE=12AC=52a．
∴AFFE＝ADOE，
∴AFFE＝4a52a＝85．
