九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试
2.3 用公式法求解一元二次方程
一、选择题
1.若关于x的一元二次方程方程（k-1）x+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围2
是（ ） A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
2.下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A．x2
+2x+1=0
B．x2
+x+2=0
C．x2
-1=0
D．x2
-2x-1=0
3. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A．2x2
-6x+1=0
B．3x2
-x-5=0
C．x2
+x=0
D．x2
-4x+4=0
4. 一元二次方程2x2
-3x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根
D．没有实数根
5. 一元二次方程x2
-4x+4=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根
D．无法确定
6. a，b，c为常数，且（a-c）2
＞a2
+c2
，则关于x的方程ax2
+bx+c=0根的情况是（ A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根
D．有一根为0
7. 若关于x的一元二次方程kx2
+2x-1=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A．k≥-1 B．k＞-1
C．k≥-1且k≠0
D．k＞-1且k≠08. y=
x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2
+2x+1=0的根的情况为（ A．没有实数根
B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根
D．有两个相等的实数根
9. 关于x的一元二次方程x2
+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ） A．k=-4
B．k=4
C．k≥-4
D．k≥4
10. 若关于x的一元二次方程x2
+2（k-1）x+k2
-1=0有实数根，则k的取值范围是（ A．k≥1
B．k＞1
C．k＜1
D．k≤1
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）
） ）
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二、填空题
1. 如果关于x的方程x-3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ． 2. 关于x的一元二次方程x+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 3. 关于x的一元二次方程x+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b= ．
4. 关于x的方程3kx+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是 ．
5. 关于x的方程kx-4x-4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 ． 6. 如果关于x的一元二次方程x+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为 ．
2
22
22
2
三、解答题
1. 已知关于x的一元二次方程（1）求m的值； （2）解原方程．
2. 已知关于x的一元二次方程mx-（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
3. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：-3☆2=（-3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．
4. 已知关于x的方程x-（2m+1）x+m（m+1）=0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m-1）+（3+m）（3-m）+7m-5的值（要求先化简再求值）．
5. 已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p，p为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
6. 嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b-4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax+bx+c=0变形为： x+
2
2
2
2
2
2
2
2
mx+mx+m-1=0有两个相等的实数根．
2
x=-，…第一步
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x+
2
x+（）=-
2
+（），…第二步
2
（x+）=
2
，…第三步
x+=（b-4ac＞0），…第四步
2
x=，…第五步
2
2
嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b-4ac＞0时，方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ． 用配方法解方程：x-2x-24=0．
2
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参考答案
一、选择题
1.B；2.B；3.D；4.B；5.B；6.B；7.C；8.A；9.B；10.D. 二、填空题 1.
；2. k＞-1；3.3；4. k≤6；5.1；6. -1或2
三、解答题
1. 解：（1）∵关于x的一元二次方程∴△=m-4×解得m=2；
（2）由（1）知，m=2，则该方程为：x+2x+1=0， 即（x+1）=0， 解得x1=x2=-1．
2. （2）解：解方程得，x=
，
2
2
2
mx+mx+m-1=0有两个相等的实数根，
2
m×（m-1）=0，且m≠0，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1．
3. 解：∵2☆a的值小于0， ∴2a+a=5a＜0，解得：a＜0． 在方程2x-bx+a=0中， △=（-b）-8a≥-8a＞0，
∴方程2x-bx+a=0有两个不相等的实数根
4. 解：（1）∵关于x的一元二次方程x-（2m+1）x+m（m+1）=0． ∴△=（2m+1）-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
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∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）2
+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2
-4m+1+9-m2
+7m-5=3m2
+3m+5， 把m=0代入3m2
+3m+5得：3m2
+3m+5=5；
把m=-1代入3m2
+3m+5得：3m2
+3m+5=3×1-3+5=5． 5. 解：（1）原方程可化为x2
-5x+4-p2
=0， ∵△=（-5）2
-4×（4-p2
）=4p2+9＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）原方程可化为x2
-5x+4-p2
=0， ∵方程有整数解，
∴为整数即可，
∴p可取0，2，-2时，方程有整数解． 6. 在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=用配方法解方程：x2
-2x-24=0 解：移项，得 x2
-2x=24， 配方，得 x2-2x+1=24+1， 即（x-1）2
=25， 开方得x-1=±5， ∴x1=6，x2=-4．
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