指数》教学设计

一、内容和内容解析

1．内容

n次方根的定义及性质，根式与分数指数幂的转化，有理数指数幂的意义及其运算性质，无理数指数幂的意义及其运算性质．

本单元内容可分2课时完成：第1课时，根式的概念及其性质；第2课时，根式与分数指数幂的转化，有理数指数幂的含义及其运算性质，了解无理数指数幂的意义．也可以先把“2课时内容”一气呵成地学完，再进行练习等深化理解．

2．内容解析

学生初中已学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则．本单元内容是在此基础上，将平方根与立方根的概念推广到n次方根，将二次根式的概念推广到n次根式的概念，将整数指数幂推广到有理指数幂，进一步将指数的取值范围推广到实数，建立实数指数幂的概念，并研究其运算．“指数”的内容安排在“指数函数与对数函数”一章的第一节，是为后面指数函数的学习奠定了基础．同时也为利用指数幂及其运算性质研究对数的运算性质，进而研究对数函数等做好准备．

基于以上分析，确定本单元的教学重点：n次根式、分数指数幂与根式的转化、有理数指数幂的运算性质．

二、目标和目标解析 1．目标

（1）经历n次方根定义形成过程，理解根式，掌握根式的性质． （2）掌握根式与分数指数幂之间的相互转化．

（3）理解有理数指数幂的意义及其运算性质，并能运用有理数指数幂的运算性质，进行化简求值，提升数学运算素养．

（4）了解无理数指数幂的意义． 2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）通过与初中所学的知识，平方根、立方根进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质，能够正确的运用根式运算性质化简、求值．培养学生分类讨论的数学思想．

（2）通过推理得出分数指数幂的概念和指数幂的性质，使学生了解由特殊到一般的类

比法，培养学生运用“由特殊到一般的类比法”去解决问题的意识．

（3）能够将根式转化为分数指数幂，再利用有理数指数幂进行化简、求值，逐步提升数学运算素养．

三、教学问题诊断分析

由于本节课主要是学习根式的有关知识，由根式转化为分数指数幂，只有充分理解根式的概念、性质，才能正确进行根式、分数指数幂的化简和运算，因此确定本节课的教学重点为“对根式概念及性质的理解，运用根式、有理数指数幂的性质化简、运算”．由于“当n为偶数时，nan=|a|”这条性质学生得出和理解比较困难，运用的时候特别容易出错，因此确定本节课将其设为教学难点．

四、教学过程设计

4． 1．1 n次方根与分数指数幂 （一）n次方根概念的引入

问题1：如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长cS，记作cS，

12像这样以分数为指数的幂，其意义是什么? 会有怎样的运算性质呢? 与整数指数幂有什么联系和区别呢?

设计意图：问题蕴含了引进分数指数幂的必要性．

问题2：初中时平方根、立方根是如何定义的? 一个数的平方根有几个，立方根呢? 你能举例说明吗?

举例： 若x24 ，则x=2，则 2叫做4的平方根；

若x327 ，则x=3 ，则3叫做27的立方根； 若x327，则x=3，则

∜

师生活动：通过举例，教师和学生一起回顾初中学习的平方根、立方根概念． 设计意图：复习初中学过的平方根、立方根概念，为n次方根学习做好铺垫． （二）n次方根概念及性质

通过类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，可将平方根、立方根进一步推广到n次方根．

师生活动：教师举例：

（1）因为(2)16，把2叫做16的4次方根；

4（2）因为2532，把2叫做32的5次方根；

（3）因为(2)32，把2叫做32的5次方根，从而得到n次方根的概念． n次方根的概念: 一般地，如果xna，那么x叫做a的n 次方根，其中n＞1，且n∈N*．

问题3.又该如何去表示a的n 次方根呢? 能否表示成x会有影响?

师生活动：教师举例，学生观察： 32的5次方根表示为：532=2； 32的5次方根可表示为：532=2；

16的正的4次方根可表示为：416；16的负的4次方根可表示为：； 16的这两个4次方根也可合并表示为：416．

设计意图：通过具体例子为载体，由特殊到一般，由具体到抽象，通过n 次方根的概念归纳其性质．

n次方根的性质：

（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．

（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，这时正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成na（a0）．

（3）负数没有偶次方根．

（4）0的任何次方根都是0，记作n0=0．

师生活动：教师给出根式定义：我们把式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

追问（1）：思考：(na)=a ?

nn5a n的奇、偶对结论会不

(5)=5，(53)=3，师生活动：由n次方根的意义，通过举例：得出结论 (na)=a．

25n追问（2）：na表示an的n次方根，等式na=a一定成立吗 ? 如果不一定成立， 那么na=

师生活动：教师引导学生按照n为奇、偶数和a符号进行分类谈论：

3如:2=2，

3nnn3(2)3=2，

n当n为奇数时，na=a 又如：

424=2

n 4(2)4=2

当n为偶数时，na=a (a≥ 0)，

nan=a (a< 0)，

(n为奇数)ann归纳结论：a

|a|=a(a≥0)(n为偶数)a(a<0)设计意图：通过学生探究，既能使学生深刻理解其结论，还能使学生体会分类讨论思想． 例1 求下列各式的值．

3（1）3(8) ；

（2）(10)2；

2（3）(ab)．

师生活动：学生独立思考，回答问题，教师进行订正．

小结：当n为偶数时，a化简得到结果先取绝对值，然后再算具体的值，避免出现错误.

设计意图：通过例题的完成巩固n次方根的概念，以及前面探究得到的关于a的性质．

（三)分数指数幂

以上我们学习了n次方根的概念及其性质，下面我们再来研究n次方根与分数指数幂的关系.

nnnn问题5：观察以下式子，对于正数a总结出相应的规律：

(1) a4510(a)aa (a)aa

43431245252105(2) a12师生活动：引导学生观察被开方数的指数与根指数的关系，学生回答，总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（即分数指数 幂形式），教师评价．

追问：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式 ? 师生活动：教师举例：a0的条件下，3aa，bb，cc，学生

223124554思考后，教师予以肯定：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式．

教师给出：正数的正、负分数指数幂的意义；0的正、负分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义：

nam=a(a>0，m，nN*，n>1)

mnmn（2）正数的负分数指数幂的意义：

a=1amn=1nam(a0，m，nN*，n>1)

（3）规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义．

设计意图： 为使得整数指数幂的性质能够在有理数范围内也成立，起到承上启下的作用．

师生活动：教师明确指出，整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

(1) arasars ( a>0，r，sQ)； (2) (ar)sars ( a>0，r，sQ)； (3) (ab)rarbr ( a>0，b>0，rQ)．

163

例2 求()4的值.

81

师生活动：学生独立思考计算，教师给出解答示范．

教师引导，在计算此类问题时可先考虑将底数化成与指数的分母有关的指数幂的形式，然后再利用上述的运算性质进行化简计算．

设计意图：通过化简计算，使学生熟悉有理数指数幂的运算性质． 例3 用分数指数幂表示式子aa（其中a0）．

师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范．师生共同归纳：根指数化为分数指数的分母，被开方数（式

6666666666666计算时通常先把根式转化成分数指数幂的形式，再

232利用有理数指数幂的运算性质解题．

设计意图：熟悉根式与分数指数幂的转化，及分数指数幂的运算性质． 例4 计算下列各式（式中字母都是正数）．

(1) (2ab)(6ab)(3ab) (a0，b0)；

(2)(mn)；

(3) (3a2a3)4a2．师生活动：学生思考，教师给出解答示范，师生共同归纳：含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．

4．1．2无理数指数幂及其运算性质

问题6：前面我们将a(a0)中的指数x 的取值范围从整数拓展到了有理数．当指数x是无理数时，ax的意义是什么? 它是一个确定的数吗? 如果是，那么它有什么运算性质?

师生活动：完成教材第108页的探究，通过有理数指数幂逐步逼近无理数指数幂的方法，认识无理数指数幂的意义．

师生得出结论：一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确定的实数． 设计意图：通过探究，使学生直观的体会从有理数指数幂逐渐逼近的过程，更能理解无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确定的实数．很自然的将a(a0)中的指数x的取值范围从有理数指数幂拓展到了实数．

教师给出实数指数幂的运算性质．（见教材第108页） （四）单元小结、布置作业

教师引导学生回顾本节所学知识，并引导学生回答下面的问题：

xx14388231212131656（1）请用结构框图表示本节所学的知识．

（2）请举例说明n次方根的性质，正数的正、负分数指数幂的意义，实数指数幂的运算性质.

设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法． 布置作业：教科书习题4．1第1，4，5题． 五、目标检测设计

教材p107练习 第1题（1）、（2），第2题（1）（2），第3题（1）（2） 1．用根式的形式表示下列各式(a0)：

a (1) a (2)2．用分数指数幂的形式表示下列各式 ：

3423(1) p5a3 (a0) p(p0) (2)a63．计算下列各式：

1123631(1) ()2 (2) 2x3(x32x3)

492设计意图：考查学生是否会根式与指数幂互化，是否会利用有理数指数幂的运算性质进行计算．