余数问题

概念：两个整数相除或能整除（又称余数为零）；或不能整除，则余数不为零。用公示表示有以下两种情况：

a = b×q + r a÷b= q 余r （0≤r＜b）

a称为被除数,b称为除数，q称商，r称余数（0≤r＜b）。本节课我们主要讨论r≠0的情况。

例题1：一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

分析：由被除数-余数=除数×商 得之 除数×商=310-27=273

由273=3×7×13 除数可能是3×7=21,3×13=39，7×13=91，这些两位数都能整出273. 但是考虑到余数应小于除数，所以适合的两位数为39、91

习题1：有一个整数，用它去除70、110、160所得到的三个余数之和。这个整数是多少？

例题2. 9437569与8057127的乘积被9除，余数是多少？这两个数的和被9除，余数是多少？

提示：a与b的和（或者积）除以c（c≠0）的余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或余数之积），或这个和（或积）除以c的余数

解：9437569除以9余7，8057127除以9余3 （可用弃9法更为快捷）

7×3=21, 21除以9余3，所以9437569与8057127的乘积被9除，余数是3； 7+3=10, 10除以9余1，所以这两个数的和被9除，余数是1.

习题2. 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余几？

注意：如果a除以3余a1，b除以3余b1，那么a×b除以3的所得余数就是a1×b1除以3的余数。（先说思考过程，把九个数字分几组）

例题3.一个数除以2余2，除以5余3，除以7余2，求符合此条件的最小数。

提示1：剩余定理

《孙子算经》中记载：“今有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，气气数之剩二，问物几何？”

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五数梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直到小于105为止。这样就可以得到满足条件的解。换算成数学公式，其解法如下： 第一步，先求和：2×70+3×21＋2×15=233

第二步，求一个小于最小公倍数[3,5,7]=105并满足条件的正整数：233-105×k＜105 k取2

第N讲 余数问题及带余数的除法

结果是23

提示2：不定方程去最小整数解：

3x-2=5y-3=7z-2

先拆分3x-2=7z-2 最小整数解 [3,7]+2=23

在想如何满足第二个条件，即 23+[3,7]×k（k≥0）之后满足“除以5余1”发现k=0时 得到小于最小公倍数[3,5,7]=105的最小正整数解, 即23是此题的所求解 提示3：想2+3×？之后能满足“5除余3”的条件?

2+3×2=8.

再想：8+[3,5] ×？之后能满足“7除余2”的条件？ 8+[3,5] ×1=23 ∴符合条件的最小自然数是23

习题3. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

（使用给出的几种方法来做，选择认为比较简单的方法，可以把计算过程写在反面）

例题4：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多了3，但余数相同，求该题的余数是多少？

提示：如果a、b除以c（c≠0）的余数相同，那么a、b的差能被c整除。 解：131-余数=商1×除数 ① 113-余数=商2×除数 ② 商1-商2=3 ③ ①-② 得 （131-余数）-(113-余数)= 商1×除数-商2×除数

化简方程左右两边 18=（商1-商2）×除数 把③代入 得到18=3×除数 除数=6 113除以6余数 商18余5 所以该题的余数是5

习题4. 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值？

例题5：有一串数9286„，从第三个数字开始，每个数字都是它前面的2个数字乘积的个位数字的。这串数的第1000个数字是几？前100个数字只和是多少？

提示：在日常生活中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象，此题就是运用周期性处理余数问题

解：按要求继续往下写，寻找循环周期：9286884286884…，除去一个数字9.“286884”六个数字一循环。

100-1=99 99÷6=16„„3 第一百个数字是6

前一百个数字之和：9+(2+8+6+8+8+4)×16+2+8+6=601

习题5： 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几

第N讲 余数问题及带余数的除法

练习题

1. 已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数都有哪些？（**）

2. 已知a=199119911991„1991，这个数除以13的余数是几？（****）

3. 三个连续的自然数，从大到小依次是7,11,13的倍数，求这三个数的和最小是多少？（***）

4. 在1-400的整数中，被3, 5,7 除都余2得数共有多少个？（**）

5. 在大于1999的自然数中，被66除后，商与余数相等的数共有多少个？（**）

6. 678除以一个自然数的商是13，而且除数减去余数的差等于8。那么除数是多少？余数是多少？（**）

7. 一个三位数除以54后，商是a，余数是b。那么a+b的最大值是多少？（*）

1991个1991

第N讲 余数问题及带余数的除法

8. 一个整数除300,262,205得到相同的余数，那么这个整数是多少？

9. 甲、乙、丙三数之和为100， 甲数除以乙数，或者丙数除以甲数，都是商5余1，乙数是多少？（**）

10. 在1988,1955,2000,2001,2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组，这样的数有哪些种？(**)

11. 22003与20032的和除以7的余数是___________。（***）

12.八个盒子，各盒内装有奶糖数分别为9、17、24、28、30、31、33、44块。家取走一盒，其余各盒被乙丙丁三人取走。已知乙、丙取到的糖的的块数相同且为丁的2倍，问甲取走的一盒中有多少块奶糖？