北师大版_勾股定理复习学案1

勾股定理

【知识体系】

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 。即直角三角形两直角边的 等于 。

2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是 三角形。（且∠ =90°） 注意：

（1）勾股定理与其逆定理的区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。

（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，

①若a+b=c，则∠C为直角； ②若c>a+b，则∠C为钝角； ③若c（3）满足条件a+b=c的三个整数，称为勾股数。

常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

222abc注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足；②三个数都为正整数。

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（2）11～20十个数的平方值：

【题型体系】

题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。

例1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm，求：第三边的长。

例2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,求第三边得长。 课堂训练

1、已知△ABC中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .

2、如图，求下列直角三角形中未知边的长度

26 17

8xx246 x= x=

1

3、已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c）； ② 验证c与ab是否具有相等关系

③ 若c=ab，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；

若c≠ab，则△ABC不是直角三角形。

例4、若三角形的三边长依次为15，39，36，求这个三角形的面积。

例5、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

222222222

例6、如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF=求证：△AEF是直角三角形．

课堂训练

1、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（ ）

A、5，6，7 B、40，41，9 C、

12311，，1 D、，，

422351CD． 42、有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根将它们首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ）

A、2，4，8 B、4，8，10 C、6，8，10 D、8，10，12 3. 三角形的三边长为(ab)c2ab,则这个三角形是( )

A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形.

4、已知：如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。

2

22DCAB

题型三 利用勾股定理证明和计算

解题思路：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理，无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件。

例7、已知：如图，在△ABC中，∠E=∠C=90°，AD是BC边上的中线,DE AB于点E,

例8、如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A与点C重合，求折痕EF长。 课堂训练

1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点， 请判断AB+CD与AC+BD的大小关系。

2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD， （1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。

注意：在几何证明和计算中出现直角时，常考虑运用勾股定理。 题型四 关于勾股定理的实际应用

立体图形中线路最短问题,通常把立体图形的表面____,得到____图形后,运用勾股定理或逆定理解决.

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求证：AC=AE-BE。

222AFDBECBCDFDCAAEB例9、如图,一油桶高4米,底面直径2米,一只壁虎由A到B吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少? B B 1、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．

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A课堂训练

2、一艘轮船以40海里/时的速度离开了港口A向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口A以30海里/时的速度向东南方向航行，他们离开港口半小时后相距___________海里。 题型五 勾股定理及其逆定理的综合应用 13 4 例10、如图,求阴影部分面积.

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12 课堂训练

如图，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．

三、主要数学思想 1、方程思想

例11、如图，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上 取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

例12、已知：如图，在△ABC中，AB ＝15，BC ＝14，AC＝13．求△ABC的面积．

练习

1、如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C’处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长。

AFBDOC'EC2、已知：如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．

4

2、分类讨论思想（易错题）

例13、 在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，求第三边的长。

例14、已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，求△ABC的周长。 练习

1、在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。

2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 基础达标训练

1、 判断

（1）若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长为5cm。 （ ） （2）在直角三角形ABC中，a+b=c。 （ ）

（3）判断：若直角三角形中两直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则2、填空

（1）以面积为9m正方形的对角线为边作一个正方形，其面积为 。

222（2）在Rt△ABC中，若斜边AB2，则ABBCCA 。

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111。 222abh(3) 把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边变为原来的 。 （4）若直角三角形两直角边长分别为3、4，则以斜边为直径的圆的面积为 。 （5）若直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则其周长为 。

（6）若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为 cm。 （7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为 。 3、解答：

（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。

（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，

① 请在图上画出车站的位置，并说明为什么； ② 求这个最小的路程和。

（3）已知△ABC中，AB=7，BC=6，AC=4，AD、AE分别为BC边上的高和中线，求DE的长。

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DCABDCAB

（4）某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》。图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆(如图3)，则图中阴影部分的面积为( ) A、36πcm C、36cm

能力提高题 ______________.

2、四根长度分别为3,4,5,6的木棒,取其中三根组成三角形,有__种取法,能构成直角三角形的是________ 3、已知：在等腰梯形ABCD中，AD//BC, 对角线AC⊥BD, AD=3cm, BC=7cm。则梯形的高是多少？

4、如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC边上的高AD.

5、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。 求证：△ABC是直角三角形．

7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?

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B、72πcm D、72cm

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12cm 1、在长方形ABCD中,AB3,BC2,E为BC的中点,F在A B上,且BF2AF.则四边形AFEC的面积为

了一顿美餐．请

8、如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．

9、如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求折痕AD的长．

10、已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是高，且AB>AC, (1). 若AB＝12，BC＝10，AC＝8, 求DE (2). 求证： AB2AC22BCDE

11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗 杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子 下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米， 你能帮它计算一下旗杆的高度．

12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．

13、如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时 梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置 上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

7 A C E D B A E C B D

14．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

S1

12S23S3S4l

15．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.

16、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.

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