第九讲二进制小数
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文档贡献者：与你的缘我们曾经学了二进制以及八、十六及各种进制的整数，以及它们的加减乘除四则运算．大家必然会提问：与十进制分数、小数类似的二进制分数、小数，如何推广过来？
一个二进制分数，就是，a是二进制整数，b≠0也是二进制整数。
一个二进制小数，不妨先讲纯小数：0＜n＜1，
n＝0.b1b2b3…bi…，每个bi或为0，或为1．（bi不全为0，也不
ab全为1）。
b1所在的位称为分位；
1
分位；221
b3：3分位；
2
12
b2：
……bi：
11分位。（类似于十进制小数0.aaa…,a为分位，a2为1231i210
1
分位，…）102
二进制小数的运算也和十进制小数运算相类似，差别在于这里是“逢二进一”，“退一还二”．
十进制小数化为二进制小数，主要通过分数作中间媒介．例
将（0.3）10化为二进制小数．（用（a）k表示k进位数）．
这表示十进制有限小数可能化成二进制循环小数．
本节重点讲二进制循环小数如何化为二进制分数．回忆十进制循环小数化分数，一是要学习推理中的思想方法，二是最好归纳成一个易用易记的公式．
十进制循环小数化分数一般公式：
这些公式的推导过程如下，请体会思想方法．
其实公式②中，当s＝0时，就是公式①，复杂的公式②是借用简单情况下的公式①推来．推出后①包含在②之中．
对于二进制循环小数化二进制分数，也可同样推导．
从推导和记忆规则看，公式（1）和（2）与十进制公式①和②相仿．那么读者一定会归纳出任意进制的循环小数化分数的公式．
例1
化(0.001)2为二进制分数，十进制分数。
•
•
解：用公式（1）
11
(0.001)2=()2=()10
1117
•
•
例2
化(0.0714285)10与(0.0101)2为十进制分数。
714285−0511
=×=()10
999999071014
••101−05(0.0101)2=()2=()10
111014
•
•
••••
解：(0.0714285)10=
例3化(0.100111011)2为二进制分数．解：由公式（2）
(0.100111011)2=
•
•
••
100111011−1001111110000100110010=
11111000010011001=
11111000
直接检验
现在再看推导公式的方法，关键是把循环小数的值设为S，好比列方程设未知数，而10kS－S恰好消去了“烫手”的无限长的小数部分，推出“方程”S（10k－1）=a1a2...ak，立刻求解出S。
这样的思想，在研究等比数列时也用到了．以前讲过有限项数列：a1，a2，a3，…，ai，…，an．所谓等比数列，即它每一项都是前一项乘上一公共值q，也即：
a1，a2＝a1q，a3＝a2q，…，ai＝ai－1q，…，an＝an－1q，或
a1，a2＝a1q，a3＝a1q2，…，ai＝a1qi－1，…，an＝a1qn－1．现在要求出a1＋a2＋a3＋…＋ai＋…＋an．
思想方法：第一步：
设S＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1．上式两边乘上q，作为第二步：qS＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn．当q＜1时，用上式两边减下式两边，得到S－qS＝a1－a1qn，
a1−a1qn即有S=
1−q公式（3）称为公比小于1的等比级数前n项求和公式．它叙述为：前n项和等于首项与首项乘公比的n次幂的差除以1与公比之差．
a1qn−a1
类似地可推导出：当q＞1时，S=（q＞1）。
q−1
例4
111111111＋×＋×＋×＋×77214228256211111=＋＋＋＋=S7142856112
11
用公式（3），q=，a1=,n=5.
27
11[1−()5]
2(25−1)3172S===5
17⋅21121−2
最后以一个很精彩的例来结束本节（本例选自美国1993年第四十四届高中数学竞赛第30题．虽是高中竞赛题，但本讲知识可解此题）
例5
x0是任意取定的数，满足0≤x0＜1，对于所有的自然数n，
xn由下述递推的关系式确定：
求使得x0＝x5的x0的个数．
分析所谓递推关系式，就是一旦给定了一个初始值x0，例如取x0
＝，就可由x0推算出x1=；由x1得x1=，…直到任意的xn。（当
4877222x1=＜1，∴x2=。
7747
17
27
x0＝，2x0＝＞1，由规定，∵2x0≥1，∴x1=2x0－1＝－1=，∵
8717
再由x2推x3。同样∵2x2=＜1，∴x3=。
总之，后项取决于前项的2倍值，当前项2倍值大于1时，就取该值；不小于1时（决不会超过2）就取它与1的差值．）
如果我们设x0是一个二进制小数，即设x0＝（0.d1d2d3…）2，那么
2x0＝（10）2×（0.d1d2d3…）2＝（d1·d2d3d4…）2，
即2x0。只是把x0的二进制表示中的小数点向右移一位．因此2x0<1相当于d1＝0，2x0≥1相当于d1＝1；那么按递推关系式的规定，x1变得特别简明：
x1＝（0.d2d3d4d5…）2．
因为如果d1＝0，即2x0＜1，则x1＝2x0＝（0.d2d3d4…）2；如果d1＝1，即2x0≥1，则x1＝2x0－1＝（1.d2d3d4…）2－1＝（0.d2d3d4…）
2，同样的规律，在由
4
747
xi求xi＋1时也成立，i＝1，2，…，即
x2＝（0.d3d4d5d6…）2；x3＝（0.d4d5d6…）2；x4＝（0.d5d6d7…）2；x5＝（0.d6d7d8…）2；
按条件应有x0＝x5，即：
（0.d1d2d3d4d5d6d7d8d9d10…）2＝（0.d6d7d8d9d10d11d12d13…）2，这相当于x0是循环节为5的二进制纯循环小数，即
x0=(0.d1d2d3d4d5)2
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由于每一个di的值，只有0，1两种可能，所以：x0有25＝32个可能值，它们依小到大排成：
0=0.00000，0.00001，0.00010，0.00011，…，0.11110，
0.111111=1。
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但别忘了题设限定0≤x0＜a，x0小于1，而由公式（1）知循环小数0.111111等于1，所以真正符合要求的值有31个。
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习题九
1．请你写出把三进制循环小数化为分数的公式：
(0.d1d2...dk)3=____________；(0.x1x2...x3d1d2...dk)3=____________。
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2．把下列十进制小数化二进制小数．（0.1）10
（0.01）10
3．把下面各循环小数化为分数，注意进制，并请把4个数由小到大排序．
(0.101)2
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(0.101)3
••
(0.101)8
••
(0.101)10
••
4．循环小数化十进制分数：
(10.1101)2，(10.296)10，(1.732)8
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5，求和：33+()2+34+()3+35+()4+()5
6．仿例5，设x0是0≤x0＜1的数，并对所有自然数n有递推式：
13131313
求使得x0＝x3的x0的所有可能值（用三进制求解），并把最小的和最大的非零数化十进制数验证．这里[x]表示取x的下整数．即不超过x的最大整数．
7．同本讲最后一例中各条件，0≤x0＜1，递推式
改动为：求使x0＝x3的所有十进制的x0值。
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