2009年高考数学(江苏卷)(word版含答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 、解答题（第15题——第20题）．本卷满分 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题） 160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符． 4．请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 6．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损． 参考公式： 1n1n2样本数据x1，x2，，xn的方差s(xix)，其中xxi ni1ni12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的．．．．．．位置上． ．．．1．若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为 ． 2．已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab ． 3．函数f(x)x15x33x6的单调减区间为 ． 32y 1 (x)(，A，为常数，4．函数yAsinA0，0)在闭区间[π，0]上的图象如图所示，则 ． 5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ． π 2π3 π 3O 1 x （第4题图） 6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 23号 7 6 4号 8 7 5号 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为s ． 开始 7．右图是一个算法的流程图，最后输出的W ． 8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ． 9．在平面直角坐标系3S0 T1 xoy中，点P在曲线C:yx10x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ． 10．已知aST2S S≥10 Y TT2 N 512，函数f(x)ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为 ． 11．已知集合Ax|logx≤2，B(，a)，若2WST 输出W AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c ． 12．设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； （2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行； （3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直； （4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号） ．．．13．如图，在平面直角坐标系xoy中，A，A2，B1，B2 1y B2 O B1 （第13题图） T M A2 x 结束 （第7题图） x2y2为椭圆221（ab0）的四个顶点，F为其右 ab焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆 的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ． A1 14．设{an}是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1，2，)．若数列bn有连续四项在集合53，23，，，193782中，则6q ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)． （1）若a与b2c垂直，求tan()的值； （2）求|bc|的最大值； （3）若tantan16，求证：a∥b． 16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABCA的中点，点D在B1C1上，，ACBC中，E，F分别是A1B1111A1D⊥B1C． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）平面AFD平面BB1C1C． 1 17．（本小题满分14分） 设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a2a3a4a5，S77． （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m，使得 2222A1 D F B1 C1 E A C B （第16题图） amam1为数列{an}中的项． am2 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x3)(y1)4和圆22C2:(x4)(y5)4． （1）若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标． 19．（本小题满分16分） 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为（第18题图） 1 O 1 A x y 22m；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为man．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交na易的综合满意度为h1h2． 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙． （1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA35mB时，求证：h甲=h乙； （2）设mA35mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ （3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 20．（本小题满分16分） 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|． （1）若f(0)≥1，求a的取值范围； （2）求f(x)的最小值； ，)，直（3）设函数h(x)f(x)，x(a接写出（不需给出演算步骤）不等式h(x)≥1．．．．的解集． 数学Ⅱ（附加题） 参考公式： 122232n2n(n1)(2n1)． 621．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答．．．．．．．题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．A．选修41：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD． 求证：AB∥CD． B：选修42：矩阵与变换 A （第21－A题图） B D C 求矩阵A322的逆矩阵． 1C：选修44：坐标系与参数方程 1xt，t 已知曲线C的参数方程为（t为参数，t0）． y3t1t求曲线C的普通方程． D：选修45：不等式选讲 设a≥b0，求证：3a2b≥3ab2ab． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本题满分10分） 33222)，其焦点F在x轴上．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2， （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； 0)(m0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME2DM，记D和E两（3）设过点M(m，点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式． 23．（本题满分10分） 2y 1 O A 1 x （第22题图） 对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x2axb0有实数根的有序数组(a，b)的组数，其中a，b{1；对于随机选取的，2，，n}（a和b可以相等）2，记Pa，b{1，2，，n}（a和b可以相等）n为关于x的一元二次方程x2axb0有实数根的概率． （1）求Tn2及Pn2； （2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn11．n 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 参考答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．20 7．22 2．3 ， 3．(111)9．(2，15) 4．3 5．0.2 11．4 6．0.4 8．1∶8 10．mn 12．（1）（2） 13．275 14．9 二、解答题 15．本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明的基本能力．满分14分． （1）解：因为a与b2c垂直，所以 a(b2c)4cossin8coscos4sincos8sinsin 4sin()8cos()0， 因此tan()2． 4cos4sin)，得 （2）解：由bc(sincos，|bc|(sincos)2(4cos4sin)21715sin2≤42． 又当π时，等号成立，所以|bc|的最大值为42． 4（3）证明：由tantan16得 4cossin，所以a∥b． sin4cos16．本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．满分14分． 证明：（1）由E，F分别是A1B的中点知EF//BC， ，AC1因为EF面ABC，BC面ABC， 所以EF∥平面ABC． （2）由三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱知， F B1 A1 D C1 CC1平面A1B1C1，又A1D平面A1B1C1， 故CC1⊥A1D⊥B1C，CC11D．又因为AE A C B1CC， B CC1，B1C平面BB1C1C，故A1D平面BB1C1C， 又A1D平面A1FD， 所以平面AFD平面BB1C1C． 1 17．本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解能力．满分14分． 解：（1）由题意，设等差数列{an}的通项公式ana1(n1)d，d0． 2222由a2知2a15d0． ① a3a4a5又因为S77，所以a13d1． 由①②可得a1 ② 5，d2． n(a1an)n26n． 2所以数列{an}的通项公式为an2n7，Sn（2）因为amam1am2(am24)(am22)88为数列{an}中的项，故为am26am2am2am22． 整数，又由（1）知，am2为奇数，所以am22m31，即m1，经检验，符合题意的正整数只有m2． 18．本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．满分16分． 解：（1）由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在． 设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被C1截得的弦长为y 23，所以d22(3)21．由点到直线的距离公式得d1 O 1 A x |1k(31k2，从而4)|k(2k470． 即k0或k7，所以直线l的方程为y0或7x24y280． 24（2）设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的 方程为yb1(xa)．因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直k线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即 15(4a)b|1k(3a)b|k， 211k12k整理得|13kakb||5k4abk|， 从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk， 即(ab2)kba3或(ab8)kab5， 因为k的取值有无穷多个，所以 ab20，ab80，或 ba30，ab50，53a，a，22解得或 b1，b13.22这样点P只可能是点P1，523131，． 或点P2222经检验点P1和P2满足题目条件． 19．本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力．满分16分． 解：设mAx，mBy． （1）甲买进产品A的满意度：h1甲12y；甲卖出产品B的满意度：h2甲； x12y5甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲12y； ·x12y5x20． ·x3y20同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度： h乙当x3y时，h甲512y·x12y5y20y， 3y5(y20)(y5)y12512 h乙x20·x3y202020y， 3y20(y20)(y5)y353y5故h甲=h乙． （2）当x320yy时，由（1）知h甲=h乙， 5(y20)(y5)因为20y204≤，且等号成立当且仅当y10． (y20)(y5)y100259y当y10时，x6． 因此，当mA6，mB10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为（3）由（2）知h0因为h甲h乙2． 32， 312yx20 x12y5x3y2012204≤， 36100x15y259xy222，h乙≥时，有h甲h乙． 333 所以，当h甲≥因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立． 20．本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．满分16分． 解：（1）因为f(0)a|a|≥1，所以a0，即a0． 1]． 由a≥1知a≤1．因此，a的取值范围为(，2（2）记f(x)的最小值为g(a)，我们有 2a2a2，xa①3x2 f(x)2x(xa)|xa|3322(xa)2a，x≤a②（i）当a≥0时，f(a)2a，由①②知f(x)≥2a，此时g(a)2a． 222 （ii）当a0时，f23a22f(x)≥a；若x≤a，则．若，则由①知axa333222a．此时g(a)a2． 33xa≤2a0，由②知f(x)≥2a22a2，a≥0，综上得g(a)2a2 ，a0．3（3）（i）当a，622，时，解集为(a，)； 2a32a222，， （ii）当a时，解集为322a32a262a，（iii）当a2，时，解集为23 a32a2，． 3数学Ⅱ（附加题）参考答案 21．【选做题】 A．选修41：几何证明选讲 本题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力．满分10分． CBBDA，B，C，D证明：由△ABC≌△BAD，得A故A，D 四点共圆，从而CABCDB．再由△ABC≌△BAD得CABDBA，因此DBACDB， 所以AB∥CD． B：选修42：矩阵与变换 本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分． 解：设矩阵A的逆矩阵为A C B xy32，则21zwxy10zw01， 即3x2z3y2w103x2z1，3y2w0，，故 012xz2yw2xz0，2yw1，，z2，y2，w3， 解得x1从而A的逆矩阵为A112． 23 C：选修44：坐标系与参数方程 本题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力．满分10分． 解：因为xt2，所以x2t故曲线C的普通方程为：3x2y60． D：选修45：不等式选讲 本题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力．满分10分． 证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)． 因为a≥b0，所以ab≥0，3a2b0，从而(3a22b2)(ab)≥0， 即3a2b≥3ab2ab． 22．【必做题】本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分． y 解：（1）由题意，可设抛物线C的标准方程为y22px．因为A 33222221t21ty， 32)在抛物线C上，所以p1．因此，抛物线C的标准点A(2，方程为y2x． （2）由（1）可得焦点F的坐标是，0，又直线OA的斜率为21 O 1 M D E x 12211，故与直线OA垂直的直线的斜率为1．因此，所求直线的方程是xy0． 22（3）解法一： k0．设点D和E的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是yk(xm)，将y112mk222xm代入y2x，有ky2y2km0，解得y1，． 2kk2由ME2DM知112mk22(12mk21)，化简得k4．因此 m1DE2(x1x2)2(y1y2)212(y1y2)2 k14(12mk2)9212(m4m)． 2kk4所以f(m)解法二： 3m24m(m0)． 2 s2t2设D，s，E，t．由点M(m，0)及ME2DM得 2212s2tm2m，t02(0s)． 22因此t2s，ms．所以 22s23f(m)DE2s(2ss)2m24m(m0)． 2223．【必做题】本题主要考查概率的基本知识和计数原理，考查探究能力．满分10分． （1）解：因为方程x2axb0有实数根，所以4a4b≥0，即b≤a． （i）当n≤a≤n时，有n≤a，又b{1，2，，n2}，故总有b≤a，此时，a有22222222n2n1种取法，b有n2种取法，所以共有(n2n1)n2组有序数组(a，b)满足条件； 22（ii）当1≤a≤n1时，满足1≤b≤a的b有a个，故共有122232n(2n1)(n21)2(n1)组有序数组(a，b)满足条件． 62n(n1)(2n1)n(6n34n23n1)由（i）（ii）可得Tn2(nn1)n， 666n34n23n1从而Pn24． 3n6n，2，，n}，方程x2axb0无（2）证明：我们只需证明：对于随机选取的a，b{1实数根的概率1Pn2Tn2122．若方程x2axb0无实数根，则4a4b0，即na2b．由b≤n知an．因此，满足a2b的有序数组(a，b)的组数小于nn，从而，方程x2axb0无实数根的概率1Pn 21nn1P1，所以． nn2nn