第２６卷第６期 ２０１３年１１月 唐山学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ ＶｏＬ ２６ Ｎｏ．６ Ｎｏｖ．２０１３ 合金元素对高Ｃｒ铸铁组织和性能的影响 杨跃辉，张晓娟，褚祥治，苑少强 （唐山学院机电工程系，河北唐山０６３０００） 摘要：通过介绍高铬铸铁的特点及应用，分析主要合金元素在高铬铸铁中的作用及其对高铬铸铁组 织及性能的影响规律，并指出今后高铬铸铁研究的方向。 关键词：高铬铸铁；合金化；耐磨性 中图分类号：ＴＧ１６３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２—３４９Ｘ（２０１３）０６—００２６—０４ Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ Ａｌｌｏｙｉｎｇ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｎ ｔｈｅ Ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｈｉｇｈ Ｃｈｒｏｍｉｕｍ Ｃａｓｔ Ｉｒｏｎ ＹＡＮＧ Ｙｕｅ－ｈｕｉ，ＺＨＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｊｕａｎ，ＣＨＵ Ｘｉａｎｇ－ｚｈｉ，ＹＵＡＮ Ｓｈａｏ－ｑｉａｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔａｎｇｓｈａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ ０６３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｃａｓｔ ｉｒｏｎ，ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｒｏｌｅ ｏｆ ａｌｌｏｙｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｃａｓｔ ｉｒｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ａｌｌｏｙｉｎｇ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｎ ｍｉｃｒｏｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｃａｓｔ ｉｒｏｎ，ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｔｈｅ ｆｕｔｕｒｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｏｃｕｓ ｏｆ ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｃａｓｔ ｉｒｏｎ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｃａｓｔ ｉｒｏｎ；ａｌｌｏｙｉｎｇ；ｗｅａｒ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ Ｕ 刖舌 中，连续程度较普通白口铁大为降低，对基体的分割作用减 小，且此种碳化物具有很高的硬度，显微硬度达到１ ２００～ １ ６００ ＨＶＥ ，保证了高铬铸铁具有高的硬度和耐磨性，其基体 组成体有铁素体、珠光体、奥氏体、马氏体等。其中，马氏体硬 度最高，磨料磨损抗力也最好，故一般情况下希望基体组织为 马氏体，但在一些承受高应力冲击磨损或腐蚀磨损的场合，马 氏体＋贝氏体＋奥氏体的复相组织或奥氏体基体的高铬铸铁 会显示出更良好的抗磨性和抗冲击疲劳性能［７］。 碳和铬是影响高铬铸铁组织的最主要合金元素。其中， 高铬铸铁是继普通白口铸铁、镍硬铸铁发展起来的第三 代白口铸铁。它既有比合金钢更高的耐磨性，也有比一般白 口铸铁高得多的韧性、强度、抗高温和抗腐蚀性能，因此被誉 为当代最优良的抗磨材料之一＿】］，同时也是高合金抗磨铸铁 中应用最广泛的一种耐磨性优良的材料 ］。长期以来在矿 山、冶金、建材和化工等行业中广泛应用。近年来，很多研究 表明 ，虽然磨损发生在表面，但为了适应更苛刻的工作 环境，需要耐磨材料具有更加优良的韧性，但高铬铸铁的韧 性相对较低，限制了其应用，因此进一步提高高铬铸铁的性 能（特别是韧性），成了国内外众多学者研究的热点之一，而 通过成分的调整优化，实现组织的改良和细化是一个重要的 碳是其中碳化物含量的决定因素，随碳含量的升高基体中 Ｍ Ｃｓ碳化物数量多，导致高铬铸铁的韧性降低，但硬度和耐 磨性上升，为兼顾耐磨性和韧性，高Ｃｒ铸铁中的碳含量一般 在１．８ ～２．８ 。铬主要决定碳化物的类型，随Ｃｒ／Ｃ增 加，共晶碳化物的形貌经历了网一片一杆等连续程度减少的 过程，共晶碳化物的类型也经历一个Ｍ。Ｃ—Ｍ Ｃ。＋Ｍ。Ｃ— Ｍ Ｃ。的变化过程，而基体上不连续分布Ｍ Ｃ。碳化物是高 研究方向。本文通过讨论主要合金元素在高Ｃｒ铸铁中的作 用，为高ｃｒ铸铁成分设计的优化、性能的改善提供参考。 １ 高Ｃｒ铸铁的组织特征 含铬量在１２ ～２８ 之间的白口铸铁属于高铬铸铁。与 普通白曰铸铁相比，高铬铸铁在凝固过程中奥氏体为领先相， 铬铸铁所期望的组织类型，因此高铬铸铁的铬碳比通常 为４～８。 共晶碳化物依附在奥氏体枝晶上形核长大［ ，其金相组织是 除碳和铬之外，为改善高铬铸铁的性能，通常也添加一 种或多种其他合金元素，下面将简述这些合金元素对高铬铸 铁组织及性能的影响。 由（Ｃｒ，Ｆｅ） Ｃａ型碳化物和奥氏体或其转变产物所组成。共晶 的（Ｃｒ，Ｆｅ） Ｃ。型碳化物呈六角形杆状及板条状分布在基体 收稿日期：２０１３—０７—１２ 基金项目：唐山市科学技术研究与发展计划资助项目（１１１１０２ｌＯＢ一６ ２） 作者简介：杨跃辉（１９８０一），男，河北元氏人，讲师，博士，主要从事新钢种和新工艺研究。 第６期 杨跃辉，张晓娟，褚祥治，等：合金元素对高Ｃｒ铸铁组织和性能的影响 ‘２７。 ２合金元素在高Ｃｒ铸铁中的作用 ２．１ 钼 钼是高铬铸铁常用的合金元素之一。钼能使转变曲线 向右推移，材料淬透性提高。当钼量达到一定程度后，空冷 即可使基体充分硬化。钼在高铬铸铁中有三种形式ｌ８］，分别 是：固溶于奥氏体及转变产物、溶入碳化物、与碳形成化合物 （如Ｍｏ Ｃ）。只有固溶于奥氏体的钼产生提高基体金属淬透 性的作用，溶于奥氏体中的钼量（Ｍｏｍ ）与高铬铸铁中总钼 量（Ｍｏ ）的关系见下式 （Ｍｏｍ ）：０．２３（Ｍｏ ）一０．０２９。 上式说明加入高铬铸铁中的钼约有１／５～１／４用于提高 基体金属的淬透性，直接形成碳化物的钼量（Ｍｏｈ ）与总钼 量的关系见下式 （Ｍｏｈ ）一０．５３（Ｍｏ ）一０．０５。 可见，约有一半的钼形成碳化物，而剩余约１／４的钼取 代Ｃｒ原子溶人（Ｆｅ，Ｃｒ） Ｃ。中。钼的碳化物（Ｍｏ。Ｃ）具有六 方晶格，显微硬度可达到１ ８００～２ ２００ ＨＶ，对高铬铸铁的耐 磨性非常有利。但钼价格昂贵，为降低生产成本，需要加入 钼的替代元素如铜、镍等，且两种元素加入后的效果要比单 一元素显著。 ２．２ 钨 钨的作用与Ｃｒ相近，铬的碳化物以Ｍ Ｃ。为主，钨的碳 化物以ＷＣ ，Ｗ。Ｃ。 ＣＷ。为主，其碳化物硬度较高，且稳 定性较好，因此钨能提高基体和碳化物的显微硬度，整体上 表现为宏观硬度升高，故加入钨元素能显著提高材料的耐磨 性。但是随着钨含量的提高 材料中碳化物的数量增多，对 基体的割裂作用变大，会导致冲击韧性降低。 同时，钨的作用在热处理后更显著，其与回火温度有着 密切的关系。回火温度较低时，钨含量增加，既可提高基体 的硬度，又使碳化物的硬度升高，故硬度随钨含量的增加而 上升；回火温度过高时，马氏体开始分解，硬度开始下降，钨 含量较高时，马氏体分解时钨形成碳化物，从基体带走的碳 更多，虽然形成大量碳化物，但基体中碳量降低，导致硬度下 降，如图１所示ｌ＿９ 。 钨禽融（％） 图１高Ｃｒ铸铁硬度与钨含量的关系 同时，钨的加入使基体中溶人大量过饱和的钨，增加了 碳扩散的困难度，会延缓回火过程中马氏体的分解和碳化物 的析出，使硬度下降较少，增加了试样的回火稳定性。 ２．３ 稀土元素 稀土元素在高Ｃｒ铸铁的生产过程中主要用作变质剂来 使用。变质处理是一种简便易行、经济而有效的强化方法。 通过变质处理可以改变凝固过程中碳化物形核和长大的热 力学条件，进而改变碳化物形貌。 马永杰研究了稀土与热处理对高铬铸铁件力学性能的 影响，结果显示：没加入稀土时铸态组织由奥氏体＋共晶碳 化物组成，共晶碳化物呈连续网状分布［１ 。稀土变质处理 后，高铬铸铁组织中初生奥氏体明显细化，形态也发生明显 改变，绝大多数成为较细小的等轴晶，只有少数细小枝状晶 存在。随着加入稀土量的增加，先共晶奥氏体树枝晶更加细 化，网状碳化物许多部分出现断开现象，并使长杆状碳化物 成团块状分布。 稀土质量分数变化对高铬铸铁硬度的影响如图２所示。 从图中曲线的变化可以看出：加入稀土的质量分数变化可明 显影响高铬铸铁的铸态硬度，但当稀土的质量分数大于 ０．６ 时，铸态硬度有所降低。 ∞ 羚 譬 聃 毛 姑 靳 ５ Ｓ毒 ５， 图２稀土对高Ｃｒ铸铁硬度的影响 ０ ０３６ ｏ．∞４ ０３２ 口．０３０ 一 玑Ｏ２霉 水 Ｏ．０盘６ 鞲 ０ Ｏ２４ 秘 ａ。∞２ ａ．∞Ｏ ａ．ａｌ８ ０． ６ ０ ０．２ ０．４ 饥６ ０ ８ １．Ｏ Ｗ％（％》 图３变质处理和热处理对耐磨性的影响 图３为稀土质量分数与高铬铸铁耐磨性的关系。可见， 稀土变质后的高铬铸铁耐磨性显著增加，且耐磨性随着稀土 质量分数的增加而提高。这是因为加人稀土元素，一方面可 改善碳化物的形态和分布，提高硬度；另一方面，稀土可使共 晶碳化物与基体的界面发生变化，两者结合力增强，从而进 一步提高了裂纹萌生的抗力，使耐磨、抗剥落性能提高。 研究结果也表明，加入稀土元素后与热处理工艺相结合 效果更佳。 ２．４钛 钛是一种活泼的金属元素，与氧、硫、氮、碳等非金属元 素均有很强的亲和力，添加到高铬铸铁中会发生多种反应， 产生多重效应。智小慧等研究表明：随着含Ｔｉ量的增加，初 生碳化物和总的碳化物（初生碳化物和共晶碳化物）均逐渐 ・ ２８ ・ 唐山学院学报 第２６卷 细化…］，如图４所示。ＴｉＣ的体积分数也随含Ｔｉ量的增加 而增加，且ＴｉＣ主要分布在Ｍ ｃ。碳化物附近，当Ｔｉ含量过 高时（Ｔｉ量为１．４７ ）ＴｉＣ出现长大和团聚现象。 ＴｉＣａ埔鼬 图４ Ｔｉ含量与碳化物等效直径的关系 文献［１２］的理论计算结果显示，某些条件下高Ｃｒ铸铁 中固溶的Ｔｉ原子可以与Ｃ原子反应生成ＴｉＣ粒子，且凝固 过程中ＴｉＣ粒子可以作为优先析出相而析出，同时从晶体学 的角度考虑，ＴｉＣ与Ｍ Ｃ。之间的错配度仅为１．３２ ，ＴｉＣ能 够作为Ｍ ｃ。非均匀形核的核心，加速了形核过程，细化 Ｍ ｃ。碳化物，使得最终的晶粒尺寸显著细化，而未作为碳化 物形核质点的弥散分布的ＴｉＣ颗粒还可能阻碍碳化物的自 由生长从而细化碳化物，但当含Ｔｉ量增加时，ＴｉＣ体积分数 增加，ＴｉＣ颗粒的长大速度加快，因此用Ｔｉ细化高铬铸铁 时，Ｔｉ的加入量并不是越多越好。 ２．５铌 对钢来说，铌是一种极其重要的微合金化元素，与铌在 钢中的应用相比，铌在铸铁领域的应用还属于一项新兴技 术。自上个世纪８Ｏ年代末及９Ｏ年代初以来，铌在高铬铸铁 中的研究开始得到发展，并取得了一定的效果。研究表明， 铌对基体组织的作用主要在于细化奥氏体组织 。当铌固 溶于奥氏体时，在晶界处极易产生内吸附，凝固时奥氏体晶 界处的铌偏聚，阻碍了晶界的推移，从而抑制了奥氏体长大。 另外，当铌含量提高到超过固溶度以后，又会在晶界处形成 偏聚析出ＮｂＣ，这部分ＮｂＣ尽管极其细小，但是它可作为晶 核起到孕育的作用，也能有效抑制奥氏体的长大。 铌对共晶碳化物分布和尺寸也有显著的影响。文献Ｅｌ４］ 研究了高铬铸铁中加Ｎｂ对共晶碳化物的影响。通过观察不 同铌含量的高铬铸铁的金相组织，并计算了其中碳化物的平 均尺寸，结果表明：随着铌的加入，碳化物不仅得到极大的细 化，而且其大小和分布更加均匀。因此使高铬铸铁韧性和耐 磨性提高。同时，Ｎｂ的加入也使Ｍ Ｃ。型碳化物量减少，奥氏 体中Ｃｒ的固溶量增加，也提高了高铬铸铁的耐磨性。 ２．６ 钒 近十几年来，各国学者对含Ｖ高铬铸铁进行了大量的研 究，从这些研究结果来看，Ｖ在高Ｃｒ铸铁中有如下作用：（１） 加Ｖ后形成的ＶＣ的显微硬度可达２ ３００～２ ８００ ＨＶ，约是 普通高铬铸铁中Ｍ Ｃ。型碳化物硬度（１ ２００～１ ６００ ＨＶ）的 ２倍，Ｖ增加，ＶＣ量增加，高铬铸铁的抗磨性能提高；（２）Ｖ 可细化奥氏体初晶，使铸铁的力学性能提高。 文献［１５］和［１６］分别研究了含Ｖ和不含Ｖ的白口铸 铁，发现不含Ｖ的白口铸铁，其液相线温度为ｌ ３ｌＯ℃，共晶 温度为１ １８０℃，奥氏体初晶生长温度范围为１３Ｏ℃。图５ 为含Ｖ铸铁的凝固过程，由冷却曲线上的拐点Ａ ，Ｂ ，ｃ 看 到，该合金液相线温度（Ａ 点）为１ ３５０℃，低于此温度开始 结晶出奥氏体；Ｂ 点（１ ２７３℃）发生奥氏体＋ＶＣ共晶反应； ｃ 点开始奥氏体＋Ｍ ｃ 的共晶反应，初生奥氏体的生长温 度范围为７７℃，远小于不加Ｖ的１３Ｏ℃，所以加Ｖ使初晶奥 氏体细化，而在ＶＣ＋奥氏体的共晶组织中，ＶＣ分布较均匀， 对基体韧性的降低作用小于（奥氏体＋Ｍ Ｃ。）共晶中的 Ｍ Ｃ。，因此在碳化物数量相等的条件下，则含Ｖ高铬铸铁不 仅抗磨性高，而且冲击韧性也更加优良。 图５含Ｖ铸铁的凝固过程示意图 含Ｖ高 铸铁经过变质处理后，性能更加优良。国内学 者以ＲＥ为主对含Ｖ高铬铸铁进行变质处理；国外学者用 在铁液中形成ＴｉＣ，作为ＶＣ的结晶核心，使ＶＣ球化。目前， 向合金中加入０．３ 的ｒｒｉ，可使ＶＣ最高球化率为７Ｏ 左右。 ３ 结语 （１）碳是影响碳化物数量的主要元素，碳增加碳化物数 量也增加；Ｃｒ含量则决定着高Ｃｒ铸铁碳化物的类型，随Ｃｒ 含量的增加碳化物由Ｍ３Ｃ转变为Ｍ Ｃ。和Ｍ：。Ｃ 。 （２）变质处理能够改变碳化物的形状，使其球化、团块化， 进而提高高ｃｒ铸铁的性能，目前常用的变质剂以稀土为主， 并结合热处理工艺的调整可以大幅提高高Ｃｒ铸铁的性能。 （３）Ｎｂ，Ｖ，Ｔｉ等微合金元素的加入能够显著细化高Ｃｒ 铸铁的组织，提高其硬度和耐磨性，几种元素同时添加时效 果大于单一元素。在高ｃｒ铸铁中加入此类元素是目前研究 的热点之一，也是高Ｃｒ铸铁今后的发展方向。 参考文献： ［１］ 刘贞，王永庆，高建英．Ｃｒ２６高铬白口铸铁的研究与生 产ＥＪ］．现代铸铁，２００６（５）：２８—３２． Ｅ２］ Ｔａｄａｓｈｉ Ｕｓａｍｉ，ＹＯ Ｓｅｒｉｔａ．Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓａｎｄ ｅｒｏ— ｓｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｒｒｏｓｉｏｎ ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ ｏｆ ｈｉｇｈ ｃｈｒｏｍｉｕｍ ｗｈｉｔｅ ｃａｓｔ ｉｒｏｎＥＪ］．ＩＭＯＮＯ，１９７８，５０（５）：２８１—２８６． ］ 口 ］第６期 杨跃辉，张晓娟，褚祥治，等：合金元素对高ｃｒ铸铁组织和性能的影响 ・２９・ （上接第４页）主共振幅频响应曲线和近似解，这是ＭＬＰ方 学报，１９９６，２８（３）：３６３—３６９． 法的优势所在，也是工程实际和理论分析所共同需要的。耦 合系统主共振一次近似解是基频分量和３倍频分量的合成 运动，一次近似解既与初始条件有关，又与非小参量￡和ｃｕ 有关。分析了系统参数对主共振幅频响应曲线的影响。当 Ｉ－６］ 徐兆，詹杰民．强非线性振子的受迫振动［Ｊ］．中山大学 学报，１９９５，３４（２）：１—６． ［７］ Ｙｕｓｔｅ Ｓ Ｂｒａｖｏ，Ｂｅｊａｒａｎｏ Ｊ Ｄｉａｚ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｆ ａ Ｋｒｙｌｏｖ Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｕｓｅｓ Ｊａｃｏｂｉ ｅｌｌｉｐｔｉｃ 改变某些系统参数，幅频响应曲线和力幅曲线会发生不同的 改变。而主共振幅频响应曲线存在跳跃和滞后现象，力幅曲 线在激励幅值逐渐增大的过程中也会出现跳跃现象，改变某 ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９０， １３９（１）：１５１—１６３． ｒ８］ Ｙｕｓｔｅ Ｓ Ｂｒａｖｏ．Ｃｏｍｍｅｎｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｈａｒｍｏｎｉｃ 些系统参数可明显减小跳跃现象。 ｂａｌａｎｃｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ Ｊａｃｏｂｉ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ１，Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９１，１４５（３）： 参考文献： 杨志安．机电磁热耦合系统非线性动力学［Ｚ］．天津：天 津大学，２００６：７７—１３１． Ｌｉ Ｌｉ．Ｅｎｅｒｇｙ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ３８１—３９０． ［９］ Ｂｕｒｔｏｎ Ｔ Ｄ．Ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕｓｉｎｇ ａ ｔｉｍｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ￣Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ－Ｉ ｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９８２，ｌ７（１）：７—１９． ｏｆ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ（Ｉ）一ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｓｙｓｔｅｍｓ ，１１０］Ｃｈｅｕｎｇ Ｙ Ｋ，Ｃｈｅｎ Ｓ Ｈ，Ｌａｕ Ｓ Ｌ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｂａｌａｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｃｕｂｉｃ ｎｏｎ— ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９９５，９（３）：２２３—２４７． 鲍文博，闻邦椿．一类机械基础非线性动力系统亚谐振 动解析解［Ｊ］．应用力学学报，２００３，２０（２）：１４０—１４４． Ｃｈｅｕｎｇ Ｙ Ｋ，Ｃｈｅｎ Ｓ Ｈ，Ｌａｕ Ｓ Ｌ．Ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｌｉｎｄｓｔ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａ— ｔｉｏｎ，１９９０，１４０（２）：２７３—２８６． ［１１］ 陈龙珠，叶贵如，陈胜立．基础非线性振动的实用解析 分析ＥＪ］．振动工程学报，１９９６，９（３）：２９２—２９６． Ｅｌ２］钱长照．强非线性Ｄｕｒｉｎｇ系统分岔响应分析的ＭＬＰ ｅｄｔ——Ｐｏｉｎｃａｒ６ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｎｏｎ—。ｌｉｎｅａｒ ＯＳ—— ｃｉｌｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅ— ｃｈａｎｉｃｓ，１９９１，２６（３／４）：３６７—３７８． 方法［Ｊ］．动力学与控制学报．２００８，６（２）：１２６—１２９． （责任编校：李高峰） 唐驾时，尹小波．一类非线性振动系统的分叉［Ｊ］．力学