维普资讯 http://www.cqvip.com 第２ｌ卷第ｌ０期 ２００７年１０月 常熟理工学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ０ｆ Ｃｈａｎｇｓｈｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏｌ・２１ Ｎｏ・１０ ０ ’， ７ 一类非线性Ｓｃｈｒｉｉｄｉｎｇｅｒ方程的守恒差分格式 陈 娟 （常熟理工学院数学系，江苏常熟２１５５００） 摘 要：对一类带五次项的非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程的初边值问题提出了一个参数型的守恒差分格式， 并在先验估计的基础上证明了差分格式的收敛性与稳定性． 关键词：Ｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒ方程；差分格式；先验估计；收敛性；稳定性 中图分类号：０２４１、８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—２７９４（２００７）１０—００１ｌ一０４ 本文考虑如下带五次项的非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程 ｕ ＋ｕ 一（１ ｕｌ ＋ｌ ｕｌ ）ｕ＝／－（ ，ｔ）ｕ， （１） ｕ ｆ ｌ ＝ Ｌ ＝ｕ ｆ ｌ＝ｘＲ ＝０， ｕ ｆ ｌｔ＝０ ＝ｕ。（ ）． （２） 的差分解法，其中ｕ（ ，ｔ）是复值函数， ，ｔ）为已知实函数，ｉ ＝一１．该问题的电荷与能量有如下关系： Ｑ（￡）＝Ｉ ｌ ｕ（ ，￡）ｌ ｄｘ＝Ｑ（０）， （３） （ｔ）＝ （１ Ｔｘ １ ＋ ・ｕ・ ＋ ・ｕ・ ） ＝ （ｏ）一 杀・ｕ Ｉ ２ｄｘｄｔ， （４） 其中Ｑ（ｔ），Ｅ（ｔ）分别称为某时刻的电荷与能量，ｔ＝Ｏ为初始时刻，（３）式表示电荷守恒． 非线性Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ（ＮＬＳ）方程在量子力学、流体力学、非线性光学和等离子物理学中有着广泛的应 用‘ －引，已有许多学者对其进行了深入研究，仅用有限差分方法进行数值求解就已有许多成果［３－６１，如Ｊ、Ｍ． Ｓａｎｚ．Ｓｅｍａ（１９８４）提出了“蛙跳格式”和改进的Ｃｒａｎｋ．Ｎｉｃｏｌｓｏｎ格式【３ ；１９９５年ＺｈａｎｇＦｅｉ等人提出了一种三 层七点守恒格式【４】．众所周知，较之不守恒的差分格式，守恒的格式能较好地完成数值计算，并在求解过程 中不易出现非线性“爆炸”，据此本文利用有限差分方法对问题（１）、（２）提出了一个参数型的三层差分格 式，证明了该格式保持方程的守恒量，并由此出发，利用能量方法证明了格式的稳定性与守恒性． １ 差分格式及其守恒性 本文采用如下记号： （ ） ＝ ， ，… （ ）ｉ 一 一ｗｊ～１ ， （ ） ＝ ， （吼＝ ， 收稿Ｅｔ期：２００７—０９—０３ 作者简介：陈娟（１９８ｌ一），女，江苏泰兴人，常熟理工学院数学系讲师，硕士 维普资讯 http://www.cqvip.com １２ 常熟理工学院学报（自然科学版） ２００７正 （ ， ）＝ｈ ｅ ｗ； －ｎ，ＩＩ “ＩＩ Ｐ ＝ｈ Ｅ Ｉ Ｉ ｐ，ＩＩ “ＩＩ＊＝ Ｉ Ｉ・ 其中ｈ，ｒ分别为空间和时间步长．约定本文中的Ｃ为一般非负常数，即在不同的地方可以取不同的值． 现对问题（１）、（２）构造如下差分格式 ［ （ ） ＋ （ ＋ ＋ ）ｊ］＋ １（ ｌ＋ｖ；－ｉ） 一 １（Ｉ ＋Ｉ 一 ）（ ｌ＋ 一 ） 一 １（Ｉ Ｉ ＋・Ｉ “Ｉ ＩＩ ＋Ｉ Ｉ ）（ “＋ ） 寺７；“（ “＋ ）， （５） ＝ｕ。（ ）， ＝ ＝０． （６） 其中０＞０．由Ｔａｙｌｏｒ展式知此格式的截断误差为Ｏ（ｈ ＋ｒ ）． 定理１差分格式（５）、（６）关于离散电荷与离散能满足 Ｑ“＝Ｑ“～＝…＝Ｑ。， （７） ＝Ｅ ＋詈∑（ 一 一）（Ｉ Ｉ ＋Ｉ Ｉ ）＝… ＝ ＋鲁∑∑（ 一 ）（Ｉ Ｉ ＋Ｉ Ｉ ）． （８） 其中 Ｑ“： ０（Ｉ Ｉｌｉ ２＋Ｉ ＩＩ ）＋ Ｒｅ｛＾芝（％ｔ Ｉｎ＋－＋ Ｉｎ））， ＝ １（ＩＩ Ｉ Ｉ２＋ＩＩ ＩＩ；）＋ １（ＩＩ ＩＩ ４＋ＩＩ ＩＩ ４）＋ １（ＩＩ Ｉ Ｉ６＋ＩＩ Ｉ：） ＋詈∑ “（Ｉ Ｉ ＋Ｉ Ｉ ）． 并称Ｑ ，Ｅ“分别为离散电荷与离散能量． 证明：将（５）式与Ｕ” ＋ 作内积并取虚部得 （１ ｌｌ ｌ２一ｌ ｌ一 ｌ ｌ２）＋丁１－０。 Ｒｅ｛＾ Ｊ－ｌ（％ －ｎ 一％ ）｝＝０， （９） 令 Ｑ“： ０（ＩＩ Ｉ Ｉ２＋ＩＩ Ｉ Ｉ）＋ Ｒｅ｛＾∑Ｊ－ｌ（％－ ｌ＋吩 ＿ｎ）｝ （１０） 则由（９）、（１０）可得Ｑ“＝Ｑ ．递推即得（７）式． 将（５）式与 一 作内积并取实部得 １（ＩＩ ＩＩ２一 一：ＩＩ ～Ｉ Ｉ２）一 １（Ｉ Ｉ”Ｉ Ｉ４一ＩＩ 一 ＩＩ：）一百１（ＩＩ ＩＩ ６一ＩＩ 一 ＩＩ：） ＝孚∑ “（Ｉ Ｉ －Ｉ Ｉ ）， 令 ＝ １（ＩＩ ＩＩ ２＋ＩＩ ＩＩ ２）＋ １（Ｉ Ｉｌ ｌ４＋ＩＩ ｌＩ＝）＋ １（ＩＩ ＩＩ ６＋ＩＩ ＩＩ：） ＋鲁∑ （Ｉ ¨Ｉ ＋Ｉ Ｉ ）， （１２） 故由（１１）、（１２）式可得 ＝ —ｌ＋ ｈ刍ｊ－ｉ（ 一ｆｉｎ－１）（Ｉ Ｉ ＋Ｉ 一 Ｉ ）， （１３） 由（１３）式递推即得（８）式． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第１０期 陈娟：一类非线性Ｓｃｈｒ￣ｄｉｎｇｅｒ方程的守恒差分格式 ２ 差分解的先验估计 定理２ 设定解问题（１）、（２）的解满足ｕ（ｘ，ｆ）∈ｃ４ ，Ｕ０（ ）∈Ｃ ，且ｌ ｆ（ｘ，ｆ）ｌ≤Ｍ ，ｌ （ ， ）Ｉ≤Ｍ：， 则当 ≥ １时差分格式（５）、（６）的解 有估计式 Ｉ ＩＵ ＩＩ ≤Ｃ （１４） 证明 由于 ｌ Ｒｅ｛ ∑（ＥＴ， ＋ ． ））ｌ≤Ｉ ＩＵ” ＩＩ ２ｚ＋ＩＩ Ｕ Ｉ Ｉ２ｚ， 则由（７）式及（１０）式可知（ ０一 ）（ＩＩ ２＋ＩＩ ２）≤ｃ 于是当 ≥ １时，有ＩＩ ＩＩ ≤ｃ． 由（８）式及（１２）式可得 吉（ＩＩ Ｉ；＋ＩＩ Ｉ ）≤Ｉ ｌ＋告 。 Ｊ－ｌ（１ ＋ＩＩ ＋ｌ Ｕｊ＇Ｉ ２）＋ ｈＴ ｎ Ｊ－Ｉ ｌ） ｌ（ １ｌ：＋－Ｌ；，！－ｉ Ｉ￣－） ≤Ｃ， 其中一１≤ ≤１，故ＩＩ ｌｌ ２≤Ｃ成立．故由Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式可知ｌ ＩＵ ＩＩ ≤Ｃ． ３差分格式的收敛性与稳定性 定理３若定理２的条件满足，则差分格式（５）、（６）的解依平方模连续地依赖于初始条件与 ，ｔ）． 证明：设｛ ｝满足差分格式（５）、（６），｛ ｎ｝满足 ［ （ ）；＋１（吐 ＋ ｎ一。） ］＋ １ Ｌ ｎ＋ｌ＋ ｎ－Ｉ） 一 １（１ …Ｉ ＋ｌ ｚ 一 ｝ ）（ ｌ＋ ｎ－１） （Ｉ Ｉ ＋Ｉ Ｉ ｌ 一 Ｉ ＋Ｉ 一 ｌ ）（ ｌ＋ ｎ－１）＝ １（ ＋ ）（ ｌ＋Ｕ ｎ－１）一 ， （１５） ｏ＝Ｕ０（ ）＋ ， （１６） 其中 ， 分别为 ，Ｕ０（ ）的扰动，令 ＝ ｎ一 ，则（１５）式减去（５）式得 ［ （ ）；＋ （ ＋Ｉ＋ ｎ） ］＋ １ ｎ＋ｌ＋ ｎ－１）癌 ： ”（ ＋ ｎ－１）＋知（ ｎ＋ｌ＋ ｎ－１） （１７） 其中Ｌ ＝｝（１ ｊＩ２＋Ｉ 一ＩＩ２）（ ｌ＋ ｎ－Ｉ）＋ ｎ －ｎ＋ｌ＋ ｌ＋ ｎ～ －ｎ—ｌ＋ 一 一 ）・（ Ｊ ＋ ）， Ｌ ＝ （Ｉ ｌ ＋ｌ ｌ Ｉ ｚ 一 ｌ ＋ｌ 一 Ｉ ）（ １＋ 一 ）＋ １｛（Ｉ ＋ ｌ ＋ｌ Ｉ ＋ｌ 一 ｌ ） ・（ ｎ －ｎ ＋ ｎ¨ ¨）＋（Ｉ Ｉ ＋Ｉ 一ｌ ＋０ ｎ“Ｉ ）（ ｅ ｊ ＋ Ｉ１ ）｝（ ¨＋ 一）． 将（１７）式与ｅ ＋ｅ一 作内积，并取虚部得 （ ｌ Ｉ２一 ㈦２＋ １－０Ｒｅ｛ Ｊ－ｌ（ 一 ））＋Ｑ－＋Ｑｚ＝Ｑｓ， （１８） 其中 Ｉ Ｑ．１＝Ｉ Ｉｍ（Ｌ３，ｅ ＋ｅ ）Ｉ≤ｃ（Ｉ Ｉｅ” ＋Ｉ ）， Ｉ Ｑ２ Ｉ＝Ｉ Ｉｍ（ ，ｅ ＋ｅ ）Ｉ≤ｃ（１Ｉ ｅ ｌＩ；＋ＩＩ ｅ ）， Ｉ Ｑ Ｉ＝— ｌ Ｉｍ｛ ∑Ｊ－Ｉ （ ＋ ＋ ｎ－１）（ １＋ －ｎ－Ｉ））ｌ≤ｃ（ＩＩ Ｉ ２＋Ｉ Ｉｅｎ＋ｌ Ｉ ２＋ＩＩ ｅｎ－Ｉ Ｉ Ｉ）． 维普资讯 http://www.cqvip.com １４ 此Ｆ歹Ｕ不等式成立 常熟理工学院学报（自然科学版） ２００７焦 （导一 故令日 ：（ ０一 ）（ＩＩ ｅｎ＋ｌ ＩＩ２：一ＩＩ ｅｎ－Ｉ ＩＩ２：）≤ｃｒ（ＩＩ矿ＩＩ２：＋Ｉ ＩｅＭＴ ＩＩ：２＋ＩＩ ｅｎ－１ ＩＩ ２）， ）（ＩＩ ｅ ＩＩ２：＋ＩＩ ｅｎ＋ｌ Ｉ ），则有 Ｂ 一Ｂ ≤Ｃｒ ｌＪ ｌＪ；＋Ｃｒ（Ｂ ＋Ｂ ） （１９） 将（１９）式两端对ｎ求和，得 Ｂ ≤Ｂ。＋Ｃｒ∑ＩＩ ８ｆ ＩＩ２：＋Ｃｒ∑（日 ＋Ｂ卜 ） ≤Ｂ。＋ＣＴ Ｉ Ｉ８ｆ ＋ｃｒ∑（日 ＋Ｂ ） 其中ＩＩ矿ＩＩ ２ｚ： ｍ ａ ｘ Ｉ Ｉ８ｆ ＩＩ ２ｚ，由Ｇｒｏｎｗａ１１不等式，Ｂ ≤（日。＋ＣＴ Ｉ ８ｆ Ｉ Ｉ）・ｅｘｐ（ＣＮＴ）≤Ｃ（Ｂ。＋ ＣＴ ｌｌ矿 ），即 （詈一 ）（Ｉ Ｉｅ ＩＩ ２ｚ＋ＩＩ ｅｎ＋ｌ Ｉ ２ｚ）≤ｃ｛（ ０一 ）…ＩＩ ＩＩ２：＋ＩＩ ｅ。ＩＩ；）＋ＣＴ Ｉ Ｉ８ｆ Ｉ ｝． 证毕．类似可证 定理４ 若定理２的条件满足，则差分格式（５）、（６）的解依平方模收敛到（１）、（２）的解． 参考文献： ［１］Ｄｏｄｄ Ｒ Ｋ，Ｅｉｂｅｃｋ Ｊ Ｃ，Ｇｉｂｂｏｎ Ｊ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｍ］．［ｓ．Ｌ．］：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９８２． ［２］Ｄａｖｙｄｏｖ Ａ Ｓ．Ｓｏｌｉｔｏｎｓ ｉｎ Ｍｏｌｅｃｕｌｒａ Ｓｙｓｔｅｍ［Ｍ］．Ｒｅｉｄｅｌ：Ｄｏｒｄｒｅｃｈｔ，１９８５． ［３］Ｓａｎｚ—Ｓｅｎａ Ｊ Ｍ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅｒａ Ｓｅｈｒｔｌｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，１９８４，４３（１６７）． ［４］ Ｚｈａｎｇ Ｆｅｉ，Ｐｅｒｅｚ－Ｇｇｒａｅｉａ Ｖ Ｍ，Ｖａｚｑｕｅｚ Ｌ． Ｎｕｍｅｒｉｃｌａ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ：ａ ｎｅｗ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｓｃｈｅｍｅ ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，１９９５，７１：１６５—１７７． ［５］Ｐｅｒａｎｉｃｈ Ｌ Ｓ．Ａ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ａ ｎｏｎｌｉｎｅｒａ Ｓｅｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｌｉｎｅａｒ ｄａｍｐｉｎｇ ｔｅｒｍ［Ｊ］．Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ｐｈｙｓ，１９８７，６８：５０１—５０５． ［６］ 张鲁明，常谦顺．带５－；Ｌ￣的非线性ＳｅｈｒＯｄｉｎｇｅｒ方程的守恒数值格式［Ｊ］．应用数学，１９９９，１２（１）：６５—７１． ［７］ 张鲁明，常谦顺，带五次项的非线性Ｓｅｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ方程差分解法［Ｊ］．应用数学学报，２０００，２３（３）：３５１—３５８． ［８］ 陈娟，潘小明．带五次项的非线性ＳｃｈｒｔＭｉｎｇｅｒ方程的一个守恒差分格式［Ｊ］．徐州师范大学学报（自然科学版），２ＯＯ６，４（２４）． Ａ Ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ Ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｆｄｉｎｇｅｒ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＣＨＥＮ Ｊｕａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｈａｎｇｓｈｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈｕ Ｊｉａｎｇｓｕ ２１５５００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ。ａ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａ１．ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｔｉｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｑｕｉｎｔｉｃ ｔｅｒｍ．Ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒｉ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ， ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｃｈｒｆｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ；ｐｒｉｏｒｉ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ