首页 养生问答 疾病百科 养生资讯 女性养生 男性养生
您的当前位置:首页正文

一类非线性Schroedinger方程的守恒差分格式

来源:华佗健康网
维普资讯 http://www.cqvip.com 第2l卷第l0期 2007年10月 常熟理工学院学报(自然科学版) Journal 0f Changshu Institute of Technology(Natural Sciences) Vol・21 No・10 0 ’, 7 一类非线性Schriidinger方程的守恒差分格式 陈 娟 (常熟理工学院数学系,江苏常熟215500) 摘 要:对一类带五次项的非线性Schrtidinger方程的初边值问题提出了一个参数型的守恒差分格式, 并在先验估计的基础上证明了差分格式的收敛性与稳定性. 关键词:Schrodinger方程;差分格式;先验估计;收敛性;稳定性 中图分类号:0241、8 文献标识码:A 文章编号:1008—2794(2007)10—001l一04 本文考虑如下带五次项的非线性Schrtidinger方程 u +u 一(1 ul +l ul )u=/-( ,t)u, (1) u f l = L =u f  l=xR =0, u f  lt=0 =u。( ). (2) 的差分解法,其中u( ,t)是复值函数, ,t)为已知实函数,i =一1.该问题的电荷与能量有如下关系: Q(£)=I l u( ,£)l dx=Q(0), (3) (t)= (1 Tx 1 + ・u・ + ・u・ ) = (o)一 杀・u I 2dxdt, (4) 其中Q(t),E(t)分别称为某时刻的电荷与能量,t=O为初始时刻,(3)式表示电荷守恒. 非线性Schrtidinger(NLS)方程在量子力学、流体力学、非线性光学和等离子物理学中有着广泛的应 用‘ -引,已有许多学者对其进行了深入研究,仅用有限差分方法进行数值求解就已有许多成果[3-61,如J、M. Sanz.Sema(1984)提出了“蛙跳格式”和改进的Crank.Nicolson格式【3 ;1995年ZhangFei等人提出了一种三 层七点守恒格式【4】.众所周知,较之不守恒的差分格式,守恒的格式能较好地完成数值计算,并在求解过程 中不易出现非线性“爆炸”,据此本文利用有限差分方法对问题(1)、(2)提出了一个参数型的三层差分格 式,证明了该格式保持方程的守恒量,并由此出发,利用能量方法证明了格式的稳定性与守恒性. 1 差分格式及其守恒性 本文采用如下记号: ( ) = , ,… ( )i 一 一wj~1 , ( ) = , (吼= , 收稿Et期:2007—09—03 作者简介:陈娟(198l一),女,江苏泰兴人,常熟理工学院数学系讲师,硕士 维普资讯 http://www.cqvip.com 12 常熟理工学院学报(自然科学版) 2007正 ( , )=h e w; -n,II “II P =h E I I p,II “II*= I I・ 其中h,r分别为空间和时间步长.约定本文中的C为一般非负常数,即在不同的地方可以取不同的值. 现对问题(1)、(2)构造如下差分格式 [ ( ) + ( + + )j]+ 1( l+v;-i) 一 1(I +I 一 )( l+ 一 ) 一 1(I I +・I “I  II +I I )( “+ ) 寺7;“( “+ ), (5) =u。( ), = =0. (6) 其中0>0.由Taylor展式知此格式的截断误差为O(h +r ). 定理1差分格式(5)、(6)关于离散电荷与离散能满足 Q“=Q“~=…=Q。, (7) =E +詈∑( 一 一)(I I +I I )=… = +鲁∑∑( 一 )(I I +I I ). (8) 其中 Q“: 0(I Ili 2+I II )+ Re{^芝(%t In+-+ In)), = 1(II I I2+II II;)+ 1(II II 4+II II 4)+ 1(II I I6+II I:) +詈∑ “(I I +I I ). 并称Q ,E“分别为离散电荷与离散能量. 证明:将(5)式与U” + 作内积并取虚部得 (1 ll l2一l l一 l l2)+丁1-0。 Re{^ J-l(% -n 一% )}=0, (9) 令 Q“: 0(II I I2+II I I)+ Re{^∑J-l(%- l+吩 _n)} (10) 则由(9)、(10)可得Q“=Q .递推即得(7)式. 将(5)式与 一 作内积并取实部得 1(II II2一 一:II ~I I2)一 1(I I”I I4一II 一 II:)一百1(II II 6一II 一 II:) =孚∑ “(I I -I I ), 令 = 1(II II 2+II II 2)+ 1(I Il l4+II lI=)+ 1(II II 6+II II:) +鲁∑ (I ¨I +I I ), (12) 故由(11)、(12)式可得 = —l+ h刍j-i( 一fin-1)(I I +I 一 I ), (13) 由(13)式递推即得(8)式. 维普资讯 http://www.cqvip.com 第10期 陈娟:一类非线性Schr ̄dinger方程的守恒差分格式 2 差分解的先验估计 定理2 设定解问题(1)、(2)的解满足u(x,f)∈c4 ,U0( )∈C ,且l f(x,f)l≤M ,l ( , )I≤M:, 则当 ≥ 1时差分格式(5)、(6)的解 有估计式 I IU II ≤C (14) 证明 由于 l Re{ ∑(ET, + . ))l≤I IU” II 2z+II U I I2z, 则由(7)式及(10)式可知( 0一 )(II 2+II 2)≤c 于是当 ≥ 1时,有II II ≤c. 由(8)式及(12)式可得 吉(II I;+II I )≤I l+告 。 J-l(1 +II +l Uj'I 2)+ hT n J-I  l) l( 1l:+-L;,!-i I ̄-) ≤C, 其中一1≤ ≤1,故II ll 2≤C成立.故由Sobolev不等式可知l IU II ≤C. 3差分格式的收敛性与稳定性 定理3若定理2的条件满足,则差分格式(5)、(6)的解依平方模连续地依赖于初始条件与 ,t). 证明:设{ }满足差分格式(5)、(6),{ n}满足 [ ( );+1(吐 + n一。) ]+ 1 L n+l+ n-I) 一 1(1 …I +l z 一 } )( l+ n-1) (I I +I I l 一 I +I 一 l )( l+ n-1)= 1( + )( l+U n-1)一 , (15) o=U0( )+ , (16) 其中 , 分别为 ,U0( )的扰动,令 = n一 ,则(15)式减去(5)式得 [ ( );+ ( +I+ n) ]+ 1 n+l+ n-1)癌 : ”( + n-1)+知( n+l+ n-1) (17) 其中L =}(1 jI2+I 一II2)( l+ n-I)+ n -n+l+ l+ n~ -n—l+ 一 一 )・( J + ), L = (I l +l l I z 一 l +l 一 I )( 1+ 一 )+ 1{(I + l +l I +l 一 l ) ・( n -n + n¨ ¨)+(I I +I 一l +0 n“I )( e j + I1 )}( ¨+ 一). 将(17)式与e +e一 作内积,并取虚部得 ( l I2一 ㈦2+ 1-0Re{ J-l( 一 ))+Q-+Qz=Qs, (18) 其中 I Q.1=I Im(L3,e +e )I≤c(I Ie” +I ), I Q2 I=I Im( ,e +e )I≤c(1I e lI;+II e ), I Q I=— l Im{ ∑J-I ( + + n-1)( 1+ -n-I))l≤c(II I 2+I Ien+l I 2+II en-I I I). 维普资讯 http://www.cqvip.com 14 此F歹U不等式成立 常熟理工学院学报(自然科学版) 2007焦 (导一 故令日 :( 0一 )(II en+l II2:一II en-I II2:)≤cr(II矿II2:+I IeMT II:2+II en-1 II 2), )(II e II2:+II en+l I ),则有 B 一B ≤Cr lJ lJ;+Cr(B +B ) (19) 将(19)式两端对n求和,得 B ≤B。+Cr∑II 8f II2:+Cr∑(日 +B卜 ) ≤B。+CT I I8f +cr∑(日 +B ) 其中II矿II 2z: m a x I I8f II 2z,由Gronwa11不等式,B ≤(日。+CT I 8f I I)・exp(CNT)≤C(B。+ CT ll矿 ),即 (詈一 )(I Ie II 2z+II en+l I 2z)≤c{( 0一 )…II II2:+II e。II;)+CT I I8f I }. 证毕.类似可证 定理4 若定理2的条件满足,则差分格式(5)、(6)的解依平方模收敛到(1)、(2)的解. 参考文献: [1]Dodd R K,Eibeck J C,Gibbon J D,et a1.Solitons and nonlinear wave equation[M].[s.L.]:Academic Press,1982. [2]Davydov A S.Solitons in Moleculra System[M].Reidel:Dordrecht,1985. [3]Sanz—Sena J M.Methods for the numerical solutions of the nonlinera Sehrtldinger equation[J].Math Comput,1984,43(167). [4] Zhang Fei,Perez-Ggraeia V M,Vazquez L. Numericla simulation of nonlinear Schrtidinger systems:a new conservative scheme [J].Appl Math Comput,1995,71:165—177. [5]Peranich L S.A finite diference scheme ofr solving a nonlinera Sehrtidinger equation with a linear damping term[J].J Comput Phys,1987,68:501—505. [6] 张鲁明,常谦顺.带5-;L ̄的非线性SehrOdinger方程的守恒数值格式[J].应用数学,1999,12(1):65—71. [7] 张鲁明,常谦顺,带五次项的非线性Sehrtidinger方程差分解法[J].应用数学学报,2000,23(3):351—358. [8] 陈娟,潘小明.带五次项的非线性SchrtMinger方程的一个守恒差分格式[J].徐州师范大学学报(自然科学版),2OO6,4(24). A Conservative Diference Scheme for a Class of Nonlinear Schrfdinger Equation CHEN Juan (Department of Mathematics Changshu Institute of Technology,Changshu Jiangsu 215500,China) Abstract:In this work。a conservative diference scheme with a parameter is presented for the initia1.boundary value problem of the nonlinear Schrtidinger equation involving quintic term.On the basis of the priori estimates, convergence and stability of the numerical solution are proved Key words:schrfdinger equation;difference scheme;priori estimates;convergence;stability 

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容