2021新高考数学新课程一轮复习：第三章 第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式含解析

第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式

组 基础关

11π10π

1．计算：sin6＋cos3＝( ) A．－1 C．0 答案 A

ππ11π10πππ11

解析 sin6＋cos3＝sin2π－6＋cos3π＋3＝－sin6－cos3＝－2－2＝－

1.

π

2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<2，则θ等于( ) πA．－6 πC.6 答案 D

解析 因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝sinθππ

＝3.又因为|θ|<，所以θ＝cosθ23. 3．已知cos31°＝a，则sin239°·tan149°的值是( ) 1－a2

A.a a2－1C.a 答案 B

解析 sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝sin31°＝1－a2.

B.1－a2 D．－1－a2 π

B．－3 πD.3 B．1 13D.2－2 - 1 -

4．若0≤2x≤2π，则使1－sin22x＝cos2x成立的x的取值范围是( ) π

A.0，4 π5πC.4，4 答案 D

π3π

解析 显然cos2x≥0，因为0≤2x≤2π，所以0≤2x≤2或2≤2x≤2π，所以xπ3π

∈0，4∪4，π. 

5．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于( )

A．sin2 C．cos2 答案 D

解析 因为r＝2sin22＋－2cos22＝2，由任意角的三角函数的定义，得sinαy

＝r＝－cos2.

6．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( ) A．1＋5 C．1±5 答案 B

解析 由已知得Δ＝(2m)2－4×4×m＝4m(m－4)≥0，所以m≤0或m≥4，排mm

除A，C.又因为sinθ＋cosθ＝－2，sinθcosθ＝4，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，所m2m

以4＝1＋2，解得m＝1－5或m＝1＋5(舍去)．

1＋2sinαcosα

7．已知tanα＝3，则2的值是( )

sinα－cos2α1A.2

B．2 B．1－5 D．－1－5 B．－sin2 D．－cos2 3πB.4，π π3π

D.0，4∪4，π 

- 2 -

C．－12 D．－2

答案 B

解析 因为tanα＝3，所以1＋2sinαcosα

sin2α－cos2α

＝

sin2α＋cos2α＋2sinαcosαsin2α－cos2α＝tan2α＋1＋2tanα32＋1＋2×3

tan2α－1＝32－1＝2.

8．化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝________. 答案 1

解析 (1＋tan2

α)(1－sin2

α)＝

1＋sin2αcos2α

·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.

sinα＋πcosπ－αsin5π

9．化简：2－α



tan－αcos3－α－2π＝________.

答案 －1

解析 原式＝－sinα－cosαsinπ

2－α

－tanαcos3α＝sinαcosαcosα

－sinα

cosαcos3

α＝sinαcos2α－sinαcos2α

＝－1. 10．已知cos(75°＋α)＝1

3，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．答案 －23

解析 因为cos(75°＋α)＝1

3，

所以sin(α－15°)＝sin[(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13. cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13. 所以sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝－23.

组 能力关

- 3 -

5

1．已知2θ是第一象限的角，且sin4θ＋cos4θ＝9，那么tanθ＝( ) 2A.2 C.2 答案 A

55

解析 因为sin4θ＋cos4θ＝9，所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝9，所以2sinθcosθ2tanθ22

sinθcosθ＝3，所以2＝，所以＝，解得tanθ＝

2(tanθ＝2，sinθ＋cos2θ3tan2θ＋13舍去，这是因为2θ是第一象限的角，所以tanθ为小于1的正数)．

1－sinθθπ1

2．(2019·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin2＋2＝时，的值是θθ3

cos2－sin2( )

A．1 C．±1 答案 B

θ1θπ1

＋解析 ∵sin22＝3，∴cos2＝3， θθθ

∴2在第一象限，且cos2cos－sin－1－sinθ22

∴θ＝θθθ＝－1.

cos2－sin2cos2－sin2

π113．已知－<α<0，sinα＋cosα＝，则2的值为( )

25cosα－sin2α725724

A.5 B.7 C.25 D.25 答案 B

π

解析 因为－2<α<0，所以cosα>0，sinα<0，可得cosα－sinα>0，因为(sinα＋149

cosα)2＋(cosα－sinα)2＝2，所以(cosα－sinα)2＝2－(sinα＋cosα)2＝2－25＝25，cosα

- 4 -

2

B．－2 D．－2

B．－1 D．0

7177

－sinα＝5，cos2α－sin2α＝5×5＝25，所以

125

的值为

7. cos2α－sin2α

1＋cosα

4．(2020·沈阳摸底)若sinα＝2，则cosα－3sinα＝( ) A．－3 9C．－5 答案 C

1＋cosα

解析 因为＝2，所以cosα＝2sinα－1.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以

sinα4

sin2α＋(2sinα－1)2＝1.整理得5sin2α－4sinα＝0，因为sinα≠0，所以sinα＝5.所以33129

cosα＝2sinα－1＝5.所以cosα－3sinα＝5－5＝－5.故选C.

π5π1π

＋α5．已知cos12＝3，且－π<α<－2，则cos12－α等于( ) 22

A.3 1C．－3 答案 D

ππ5ππππ

－α＝解析 因为12＋α＋12－α＝2，所以cos12－α＝sin2－12π7π5πππ5π5π1

sin12＋α.因为－π<α<－2，所以－12<α＋12<－12.又cos12＋α＝3>0，所以－2<α5ππ5π

＋12<－12，所以sin12＋α＝－



5π

1－cos212＋α＝－



2211－32＝－3. 

1B.3 22D．－3 B．3 9D.5 6．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________. 答案 44.5

解析 因为sin(90°－α)＝cosα，

所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1， 设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°， 则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，

- 5 -

两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5. 3π

7．已知α∈π，2，且满足

________.

9

答案 5 3π

解析 因为α∈π，2，所以



1－sinα1

＋cosα＝

1＋sinα

1－sinα1－sinα

＋

1＋sinα1－sinα

1－sinα1

＋cosα＝2，则cos2α＋2sin2α＝

1＋sinα

1－sinα11sinαsinα＝＋＝，则＝2，tanα＝2， cosα－cosαcosαcosαcosα

2

cosα＋4sinαcosα1＋4tanα92

而cosα＋2sin2α＝＝2＝. sin2α＋cos2αtanα＋15

5π

sin2＋α25

8．已知sinα＝5，求tan(α＋π)＋的值．

5πcos2－α

5π

sin2＋αcosαsinαcosα1

解 tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝

sinαcosαsinαsinαcosα.∵sinα＝5π

cos2－α25

5>0，∴α为第一或第二象限角．

5

当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝5， 15

则原式＝sinαcosα＝2；

5

当α为第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－5， 15

则原式＝sinαcosα＝－2.

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