新林区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ A．

B．

C．

D．

）C．a2＞b2

D．a＞|b|

）

2． 若a＞b，则下列不等式正确的是（ A．　

B．a3＞b3

3． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ A．

B．y=x2C．y=﹣x|x|

D．y=x﹣2

）

2)，b(3，2)，若kab与a垂直，则实数k值为（ 4． 已知平面向量a(1，111A． B． C．11 D．19

59）

【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．5． 设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=n2+2n（n∈N*），则A．

B．

C．）

C．个 C．5x5

D．个

）

D．x5或0x5D．

+

+…+

=（

）

6． 集合1,2,3的真子集共有（ A．个 A．5x0或x5 ）A．

B．

B．个 B．x5或x5

7． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（

8． 点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（

C．D．

9． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ A．36π C．60π

10．已知x＞1，则函数A．4

B．3

C．2

D．1

第 1 页，共 15 页

）

B．48πD．72π

的最小值为（

）

11．已知△ABC中，a=1，b=A．150°

B．90°

，B=45°，则角A等于（

C．60°

﹣）•（

）

D．30°

+

）=（

）

12．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（

A．﹣6　

B．﹣2C．2D．6

二、填空题

13．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是　　　　　　．14．已知|a|2，|b|1，2a与b的夹角为

133，则|a2b| ．

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为　　　　　　．　

16．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是　　　　　　米．（太阳光线可看作为平行光线） 　

17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=x3x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为_____．

18．若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是　　　　　　．　

三、解答题

19．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=

a．

第 2 页，共 15 页

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．

20．已知曲线f(x)ex平行．

212（x0，a0）在x1处的切线与直线(e1)xy20160ax（1）讨论yf(x)的单调性；

（2）若kf(s)tlnt在s(0,)，t(1,e]上恒成立，求实数的取值范围．

21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)|x2||x1|，g(x)x.（1）解不等式f(x)g(x)；

（2）对任意的实数，不等式f(x)2x2g(x)m(mR)恒成立，求实数m的最小值.111]

3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数22．（本题满分12分）已知向量a(sinx,2第 3 页，共 15 页

f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2bc2acosC，求f(B)的取值范围.

【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.

23．如图，在四棱锥的中点，

为

的中点，且

中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段求出的长,若不存在，请说明理由．

与所在平面成角．若存在，

24．已知矩阵A＝，向量＝.求向量

，使得A2＝.

第 4 页，共 15 页

第 5 页，共 15 页

新林区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，

取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，

故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=故选：A．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．　

2． 【答案】B

【解析】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确． a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．

【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．　

3． 【答案】D【解析】解：函数

为非奇非偶函数，不满足条件；

．

函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；

函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D

【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．　

4． 【答案】A

第 6 页，共 15 页

5． 【答案】D

【解析】解：∵Sn=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．∴∴==﹣

．+=

+…+

=

=

+

，+…+

故选：D．

【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

6． 【答案】C【解析】

考点：真子集的概念.7． 【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.18． 【答案】A

【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．

第 7 页，共 15 页

由图可得面积S=故选：A．

=+=+2．

【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．　

9． 【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b，则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，又V四棱锥P－ABCD＝1S矩形ABCD·PO

3

2

＝1abR≤R3.

33

2

∴R3＝18，则R＝3，3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A.10．【答案】B

【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0由基本不等式可得，当且仅当故选B　

11．【答案】D【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30°故选D．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．　

=

，B=45°

即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”

第 8 页，共 15 页

12．【答案】D

【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：

=

．故选：D．

【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．　

=

=2+4﹣2+2=6

二、填空题

13．【答案】　50π　．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．　

14．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a与b的夹角为∴|a2b|；则这个球的表面积是：

=50π．

，

2，ab1，3(a2b)2|a|24ab4|b|22．

15．【答案】　　．

【解析】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=∴cos∠EB1F=，故答案为

，EF=

第 9 页，共 15 页

【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．　

16．【答案】　3.3　

【解析】

解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．设BC=x，则根据题意=

，

AB=x，

在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，

=

=

则，即，求得

x=3.3（米）

故树的高度为3.3米，故答案为：3.3．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．　

17．【答案】2,23第 10 页，共 15 页

【解析】18．【答案】　

　．

，

【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=∵mn﹣m﹣n=3，

∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2∴m+n≥6，则d=故答案为：

．

≥3

．

，

第 11 页，共 15 页

【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】（本小题满分10分）解：（1）∵∴

在锐角△ABC中，故sinA≠0，∴（2）∵∴∴

，

．…5分

，…6分

，即ab=2，…8分

．…10分，，…2分

，…3分

【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．　

20．【答案】（1）f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减；（2）

1e1e1e1e1[,).2【解析】

1e21，∴a1，a1e2x21122由f(x)ex，可得f'(x)e2，

xx2x试题解析：（1）由条件可得f'(1)e2第 12 页，共 15 页

e2x210,11由f'(x)0，可得解得x或x；

eex0,e2x210,11由f'(x)0，可得解得x0或0x．

eex0,111eee（2）令g(t)tlnt，当s(0,)，t(1,e]时，f(s)0，g(t)tlnt0，

tlnt由kf(s)tlnt，可得k在x(0,)，t(1,e]时恒成立，

f(s)tlntg(t)即kf(s)，故只需求出f(s)的最小值和g(t)的最大值．

f(s)maxmax所以f(x)在(,)，(,)上单调递增，在(,0)，(0,)上单调递减．由（1）可知，f(s)在(0,)上单调递减，在(,)上单调递增，

1e1e1e1e由g(t)tlnt可得g'(t)lnt10在区间(1,e]上恒成立，

故f(s)的最小值为f()2e，

所以g(t)在(1,e]上的最大值为g(e)elnee，所以只需ke1，2e212所以实数的取值范围是[,).

考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导定义域；②对fx求导；③令fx0，解不等式得的范围就是递增区间；令fx0，解不等式得的21．【答案】（1）{x|3x1或x3}；（2）.【

解

析

】

数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数fx的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数fx的范围就是递减区间；④根据单调性求函数fx的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.

试

第 13 页，共 15 页

题解析：（1）由题意不等式f(x)g(x)可化为|x2|x|x1|，当x1时，(x2)x(x1)，解得x3，即3x1；当1x2时，(x2)xx1，解得x1，即1x1；当x2时，x2xx1，解得x3，即x3

（4分）

（5分）

综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为{x|3x1或x3}.

（2）由不等式f(x)2x2g(x)m可得|x2||x1|m，分离参数m，得m|x2||x1|，∴m(|x2||x1|)max∵|x2||x1||x2(x1)|3，∴m3，故实数m的最小值是. 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．122．【答案】

【解析】（1）由题意知，f(x)absinxcosx（10分）

3(sinxcosx)(sinxcosx)213sin2xcos2xsin(2x)……………………………………3分223令2k22x32k2，kZ，则可得k12xk5，kZ.12∴f(x)的单调递增区间为[k12,k5]（kZ）.…………………………5分1223．【答案】

【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直

第 14 页，共 15 页

【试题解析】（Ⅰ）平面

平面

（Ⅱ）取分别以则

，的中点平面

．，

是等边三角形，，底面

是交线，

为平面

的中点，

是正方形，，两两垂直．

的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，，

，

平面

的法向量即为平面

，

的法向量

．

由图形可知所求二面角为锐角，(Ⅲ)设在线段使线段平面

与

上存在点所在平面成

，

，解得

在线段

上存在点

，当线段

，角，

，，适合时，与

所在平

面成

角．

，

的法向量为

24．【答案】＝【解析】A2＝设

＝

.由A2＝，得

.

，从而

解得x＝-1，y＝2，所以＝

第 15 页，共 15 页