平江县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

平江县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ） A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞）

D．（﹣∞，]

EF2． 在正方体ABCDA1BC11D1中，E,F 分别为BC,BB1的中点，则下列直线中与直线

相交

的是（ ）

A．直线AA1 B．直线A1B1 C. 直线A1D1 D．直线B1C1 3． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ ） A．﹣ B．

C．﹣1 D．1

4． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A．24 B．18 C．48 D．36

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 2)，若kab与a垂直，则实数k值为（ ） 2)，b(3，5． 已知平面向量a(1，111A． B． C．11 D．19

95【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 6． 若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜1}

7． 在复平面内，复数（﹣4+5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8． 下列4个命题：

①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”； ②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；

③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2； 其中正确命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

229． 若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)(y2)25交于A,B两点，则弦长|AB|的最小值为（ ）

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A．85 B．45 C．25 D．5

10．已知f（x）=4+ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（ ） A．（1，5） B．（1，4） C．（0，4） D．（4，0）

11．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数

z1在复平面内对应的点在（ ） z2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．

x2y212．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31

若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2

A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

二、填空题

13．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为 ．

14．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．

1818 0792 4544 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238

【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．

15．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种． 16．不等式

的解集为 ．

17．在（1+x）（x2+）6的展开式中，x3的系数是 ．

18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线；

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⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

三、解答题

19．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn3an3，（nN）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn4n1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn. an【命题意图】本题考查利用递推关系求通项公式、用错位相减法求数列的前n项和.重点突出对运算及化归能力的考查，属于中档难度.

20．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列． （2）若{bn}前3项的和等于

，求{an}的首项a1和公差d．

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21．已知椭圆Γ：M．

（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为

，过点A的直线l与椭圆交于另一点

（I）求椭圆Γ的方程；

（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．x正半轴为极轴建立极坐标系，在直角坐标系xOy中，以O为极点，曲线C的极坐标方程为ρcos（=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

23．[50，60][60，70][70，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：80][80，90][90，100]． （1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．

）

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24．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．

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平江县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

2

【解析】解：∵函数y=x+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=

为对称轴的抛物线

又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数， 故2≤解得a≤﹣ 故选B．

2． 【答案】D 【解析】

EF为异面直线，B1C1和EF在同一个平试题分析：根据已满治安的概念可得直线AA1,A1B1,A1D1都和直线

面内，且这两条直线不平行；所以直线B1C1和EF相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断. 3． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1， ∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1， ∵2016=3×672，

672

∴A2016 =（﹣1）=1．

，得，，a4=3，

故选：D．

4． 【答案】A

211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.

5． 【答案】A

6． 【答案】D

【解析】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．

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7． 【答案】B

【解析】解：∵（﹣4+5i）i=﹣5﹣4i， ∴复数（﹣4+5i）i的共轭复数为：﹣5+4i，

∴在复平面内，复数（﹣4+5i）i的共轭复数对应的点的坐标为：（﹣5，4），位于第二象限． 故选：B．

8． 【答案】C

22

【解析】解：①命题“若x﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x﹣x≠0”，①正确； ②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确； ③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，

由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；

④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C．

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d2xy70，解得定点3,1，当点（3,1）

xy405，弦长

132212AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 1111]

10．【答案】A

【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a则函数f（x）过定点（1，5）． 故选A．

x﹣1

得，f（1）=5，

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11．【答案】B 【

解

析

】

12．【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF2F1F24c，1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径 rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得

22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a二、填空题

13．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，

222222

∴由正弦定理得a=b+c﹣bc，即：b+c﹣a=bc， 222

∴由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB，

∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

==，A=60°．可得：sinA=，

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

14．【答案】19

【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19． 15．【答案】 75

【解析】计数原理的应用．

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【专题】应用题；排列组合． 根据分类计数加法得到结果．

【解答】解：由题意知本题需要分类来解，

【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，

13

第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C3C6=60， 4

第二类，若从其他六门中选4门有C6=15，

∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法． 故答案为：75．

【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏． 16．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

17．【答案】 20 ．

26

【解析】解：（1+x）（x+）的展开式中，

，即，求得0＜x≤1，

x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；

26

又（x+）的展开式中，

通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，

令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意； 令12﹣3r=2，解得r=

3

，不合题意，舍去；

=20．

所以展开式中x的系数是

故答案为：20．

18．【答案】 ①②④

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

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对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF， 设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

22

，即x﹣y=1，

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）当n1时，2S13a132a1a13；………………1分 当n2时，2Sn3an3,2Sn13an13，

∴当n2时，2Sn2Sn13(anan1)2an，整理得an3an1.………………3分 ∴数列{an}是以3为首项，公比为3的等比数列. ∴数列{an}的通项公式为an3n.………………5分

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20．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d． ∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，

2

∴a2=a1a4．

2

即（a1+d）=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．

当d=0时，an=a1，bn=当d=a1时，an=na1，bn=

==

，∴

，∴

=1，∴{bn}为等比数列；

=，∴{bn}为等比数列．

综上可知{bn}为等比数列． （2）解：当d=0时，S3=当d=a1时，S3=

=

=

，所以a1=

；

，故a1=3=d．

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【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得

，解得，

所以所求的椭圆方程为；

（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，

因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM， 又由

=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2， 消去y，得3x﹣8x=0，解得x=0或x=，

2

，

所以M（0，﹣2）或M（，），

22

（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x+y=4，

则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；

=≠

=

=

，

（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（

），半径为r=

=r，

所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=

所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．

，所以直线l的方程为y=﹣

+2，即x+2y﹣4=0，

【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．

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22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由

从而C的直角坐标方程为

即

θ=0时，ρ=2，所以M（2，0） ，

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为

，则P点的极坐标为，ρ∈（﹣∞，+∞）

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

23．【答案】

【解析】解：（1）依题意，

根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a的值0.005．

（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），

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【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+， ∴f（1）=1， ∴切点为（1，1） ∵f′（x）=﹣1﹣∴f′（1）=﹣2，

∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3=0；

（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

， =

，

若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，

2

则g（x）=ax﹣x+2在（0，+∞）2个解，

故，

解得：0＜a＜．

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