%
第二章 有理数及其运算
1 有理数
题型一 具有相反意义的量及表示方法
1．下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜2局与负3局 B．6个老师与6个学生
C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米
`
2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果向东走5米记为+5米，那么向西走3米记为（ ）
A．﹣3米
B．﹣5米
C．+3米
D．+5米
3．某商场经理对今年上半年每月的利润作了如下记录：月盈利分别是33万元、32万元、万元、54万元，3、4月份亏损分别是万元和万元．试用正、负数表示各月的利润，并算出该商场上半年的总利润．
|
题型二 几何图形的构成
4．在﹣3，0，1，﹣2这四个数中，是负数的有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．0
5．在下列各说法中，正确的是（ ）
A．数0的意义就是没有 B．一个有理数，不是整数就是分数 C．一个有理数不是正有理数就是负有理数 D．正数和负数统称为有理数 6．在﹣
，2，0，，﹣9这五个数中，负有理数的个数为 个；整数的个数为 个．
：
7下列各数中，既不是整数也不是负数的是（ ）
A．
B．5
C．﹣1
D．0
8．课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是（ ） A．4
B．3
C．2
D．1
9．（1） 统称整数，（2） 统称分数，（3） 统称有理数． 10．．下列各数，哪些是整数，哪些是分数哪些是正数，哪些是负数 1，﹣，，﹣789，325，0，﹣20，，1 ．
,
11．五袋白糖以每袋50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下：+，﹣4，+，﹣，+．这五袋白糖共超过多少千克总重量是多少千克
]
题型三 数的集合
12．把下列各数填入相应的大括号内： ﹣，2，0，﹣，﹣3，+27，﹣15%，﹣1
正数集合{ }负数集合{ } 整数集合{ }分数集合{ } 非负数集合{ }
—
1 有理数-提升
1．小青乘飞机取旅游，从放置在座位后背的一份杂志上看到这样的一张表格： 飞机距离地面高度h（千
米）
0
1
2
……
~
3
8
2
﹣4
﹣10
……
飞机舱外面的温度t（℃）
)
此时飞机舱外部的温度显示为﹣22℃，地面此时温度为8℃，请你帮小青算算，他所乘坐的飞机此时距离地面（ ）千米． A．8
B．7
C．6
D．5
2．下列说法正确的是（ ） A．有理数分为正数和负数 B．﹣a一定表示负数
C．正整数，正分数，负整数，负分数统称为有理数 D．有理数包括整数和分数
3．给出下列各数：+10，﹣2，0，﹣，5，﹣1，，﹣2016，，，其中，是负数的有（ ） A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【
4．小明和小红以旗杆为起点，小明向东走15米记作+15米，小红向西走3米记作﹣3米，小明和小红相距（ ）米．
A．18米 5．
﹣，0，2008，
B．19米 C．20米
，10%，﹣23，，﹣，3，上述数中，整数有 ，负分数
有 ．
6．下列数﹣11、5%、﹣、、、0、﹣、﹣π、2014中，负有理数有 个，负分数有 个，整数有 个．
7．邻居张大爷上星期五买进某公司股票，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期
一
三
四
五
;
二
每股涨跌
+2
+
﹣1
﹣
。
﹣
由上表知，星期三收盘时，每股是 元． 8．把下面各个数填入相应的大括号内：
﹣，2，﹣5，0，，﹣，，+27，﹣，﹣15%，﹣，
，0.，π
正有理数集合：{ …}， 负有理数集合：{ …}， 整数集合：{ …}，
·
正分数集合：{ …}， 负分数集合：{ …}， 非负整数集合：{ …}．
9．某天上午，一出租车司机始终在一条南北走向的笔直马路上营运，（出发点记作为点O，约定向南为正，向北为负），期间一共运载6名乘客，行车里程（单位：千米）依先后次序记录如下：+7，﹣3，+6，﹣1，+2，﹣4．
（1）出租车在行驶过程中，离出发点O最远的距离是 千米； （2）将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O多远在O点的什么方向
（3）出租车收费标准为：起步价（不超过3千米）为8元，超过3千米的部分每千米的价格为元，求司机这天上午的营业额．
,
10．观察下列等式： 第1个等式：a1＝
＝﹣；第2个等式：a2＝
＝﹣；
第3个等式：a3＝＝﹣；第4个等式：a4＝＝﹣；……
解答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：a5＝ ＝ ． （2）求a1+a2+a3+…+a2019的值；
{
（3）求+++……+的值．
2 数轴
题型一 数轴的概念与画法
1．我们把规定了 ， 和 的直线叫做数轴．
【
2．下面所画数轴，正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
题型二 用数轴上的点表示有理数
3．如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ）
!
A． B．﹣ C．﹣ D．
4．如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染吧的部分内含有的整数为 ．
5．指出图所示的数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数．
6．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示，设点A，
B，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少
<
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p．
题型三 利用数轴比较有理数的大小
?
7．如图所示，a，b在数轴上表示的点如下，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0＞b
B．a＞b＞0
C．a＜0＜b
D．a＜b＜0
8．已知有理数m、n在数轴上对应位置如图所示，试将m、n、﹣m、﹣n用“＜”连接起来 ．
9．比较大小① ﹣2015；② 0；③﹣ ﹣．
10．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题．
（1）A、B、C三点分别表示 、 、 ；
…
（2）将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是 ； （3）将点A向右移动4个单位长度后，点A所表示的数是 ．
2 数轴-提升
1．数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动6个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ）
-
A．7
B．3
C．﹣3
D．﹣2
2．如图，在数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
3．已知，数轴上三个点对应表示的数分别是a、b、c，若a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（ ）
A．
B．
C．
。
D．
4．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2019所对应的点是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
5．如果数轴上的点A对应的数为﹣3，那么与A点相距5个单位长度的点所对应的有理数为 ．
6．A、B、C三点在数轴上对应的数分别是2、﹣4、c，若相邻两点的距离相等，则c＝ ． 7．在数轴上画出表示下列个数的点，并将这些数用“＜”连接起来：4，﹣4，5，1，0．
、
8．如图，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了2个单位长度到达点A，再向右爬行了4个单位长度到达点B，然后向左爬行了10个单位长度到达点C． （1）写出点A、B、C表示的数；
（2）根据点C在数轴上的位置，回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了多少个单位长度
-
9．操作探究：如图，在纸面上有一数轴
、
操作1（：1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣4的点与表示 的点重合；
操作2：（2）若折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，请回答下面的问题： ①表示6的点与表示点重合；
②若数轴上A，B两点之间的距离为13（点A在点B的左侧），且A，B两点经过折叠后重合，求两点所表示的数．
】
3 绝对值
题型一 相反数的概念及性质
；
1．﹣的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．﹣
2．一个数的相反数是﹣3，则这个数是（ ） A．3
B．﹣3
C．2
D．0
3．一个数的相反数等于它本身，这个数是 ；比其相反数大的数是 ． 4．在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是8，点A在点B的右边，则点
A表示的数为 ，B表示的数为 ．
题型二 绝对值的定义及性质
，
5．的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2020 6．数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值相等的点是（ ）
A．点A与点D
B．点A与点C
C．点B与点C
7．如果|a|＝a，下列各式成立的是（ ） A．a＞0
B．a＜0 C．a≥0 .
8．若|a|＝3，则a的值是 ．
题型二 利用绝对值比较有理数的大小
9．下列说法正确的是（ ） A．有理数分为正数和负数 B．有理数的相反数一定比0小
{
C．绝对值相等的两个数不一定相等
D．2020
D．点B与点D
D．a≤0
D．有理数的绝对值一定比0大
10．若a，b是有理数，那么下列结论一定正确的是（ ） A．若a＜b，则|a|＜|b| B．若a＞b，则|a|＞|b| C．若a＝b，则|a|＝|b|
D．若a≠b，则|a|≠|b|
11．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最小的点是（
A．点A
B．点B C．点C D．点D
:
3 绝对值-提升
^
1．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与 D．与
）
2．﹣，π，﹣的绝对值的大小关系是（ ）
A．＞|π|＞|﹣| B．＞|﹣|＞|π|
C．|π|＞＞|﹣| D．＞|π|＞|﹣|
3．如图，在数轴上有六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则这条数轴的原点在（ ）
【
A．在点A，B之间 C．在点C，D之间
B．在点B，C之间 D．在点D，E之间
4．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0
B．a＜b
C．﹣a＜﹣b
D．|a|＞|b|
5．如果|a|＝7，|b|＝4，则a+b＝ ．
6．|x|＝7，则x＝ ；|﹣x|＝7，则x＝ ．如果a＞3，则|a﹣3|＝ ，|3﹣a|＝ ．
7．有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
—
（1）判断正负，用“＜”或“＞”填空：b﹣c 0，b﹣a 0，a+c 0， （2）化简：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|a+c|
&
8．已知a是最大的负整数，b是﹣5的相反数，c＝﹣|﹣3|，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值；
（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q
（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒6个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，追上后点M再运动几秒，M到Q的距离等于M到P距离的两倍
、
、
4 有理数的加法
有理数的加法
题型一 有理数加法法则
1．下列说法中，正确的是（ ）
\\
A．有理数中没有最大的负整数 B．有理数中没有最大的正整数 C．同号两数相加的和一定比加数大 D．异号两数相加的和一定比加数小
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．正负号相反的两个数叫做互为相反数 B．一个数的相反数的相反数等于这个数 C．有理数的绝对值一定是正数 D．两个有理数相加，和一定大于每个加数 3．若x的相反数是﹣2，|y|＝5，则x+y的值为（ ） A．﹣7
B．7
C．﹣7或7
D．﹣3或7
4．若|x|＝2，|y|＝5，则|x+y|的值为 ．
…
题型二 有理数加法法则应用
5．比﹣2大5的数是（ ） A．﹣7
B．﹣3
C．3
D．7
6．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图2表示的过程是在计算（ ）
A．（﹣4）+（﹣2） B．（﹣4）+2
[
C．4+（﹣2） D．4+2
7．将某物质从﹣2℃升高6℃是（ ）
A．﹣8℃
B．4℃
C．﹣4℃
D．8℃
8．在有理数2，0，﹣1，﹣3中，任意取两个数相加，和最小是（ ） A．2
B．﹣1
C．﹣3
D．﹣4
9．某城市在冬季某一天的气温为﹣3℃～3℃．则这一天的温差是（ ） A．3℃
B．﹣3℃
C．6℃
D．﹣6℃
10．（+3）+（﹣5）＝ ，（﹣2）+（﹣6）＝ ． 11．已知|x|＝3，|y|＝7，且x+y＞0，则x﹣y的值等于 ．
?
12．种植专业户张大爷今年种植的苹果丰收了，共装了400筐苹果．为了了解今年苹果的总收入，张大爷叫他读初一的孙子张小虎帮他算一算．张小虎刚学了有理数的应用，就任意选了10筐苹果，以每筐20千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记作负数，记录如下：（单位：千克）
﹣2，﹣4，+，+3，﹣，+，+3，﹣1，0，﹣ 请你帮张小虎算算：
（1）这十筐苹果每筐的平均重量是多少
（2）据市场价格，每千克苹果最低可卖4元，这400筐苹果估计能卖多少钱
；
13．邮递员骑车从邮局出发，先向东骑行3km，到A村，继续向东骑行2km到达B村，然后向西骑行6km到达C村，最后回到邮局．
①以邮局为原点，向东方向为正方向，用lcm表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示A、
B、C三个村庄的位置，
②C村离A村有多远 ③邮递员一共骑行了多少km
有理数的加法运算律
题型一 有理数的加减运算律
\\
1．计算1﹣3+5﹣7+9＝（1+5+9）+（﹣3﹣7）是应用了（ ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律
D．加法交换律与结合律
2．运用交换律和结合律计算：
（1）3﹣10+7＝3 7 10＝ ；
（2）﹣6+12﹣3﹣5＝ 6 3 5 12＝ ．
】
题型二 运用有理数加减运算律计算
3．按照有理数加法法则，计算15+（﹣22）的正确过程是（ ） A．+（22+15）
B．+（22﹣15）
C．﹣（22+15）
D．﹣（22﹣15）4．从数6，﹣1，15，﹣3中，任取三个不同的数相加，所得到的结果中最小的是（ A．﹣3
B．﹣1
C．3 D．2
5．已知，|x|＝3，|y|＝5，且xy2
＜0，则x+y的值一定是（ ） A．﹣2或8
B．2 C．2或﹣8 D．﹣8
(
）
6．已知：|x|＝3，|y|＝5，且xy＜0，则x+y＝ ．
7．在CCTV“开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，请问：a，b，c三数分别是 、 、 ． 8．气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km，气温下降6℃．已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少 9．计算：
（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）； （2）（﹣）+（﹣）+；
》
（3）．
10．阅读下面文字
对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）
-
可以如下计算：
原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
＝0+（﹣1）
＝﹣1
上面这种方法叫折项法，你看懂了吗 仿照上面的方法， 计算：
…
（1）﹣1+（﹣2）+7+（﹣4） （2）（﹣2019）+2018+（﹣2017）+2016
11．云云驾驶一辆宝马汽车从A地出发，先向东行驶15公里，再向西行驶25公里，然后又向东行驶20公里，再向西行驶40公里，问汽车最后停在何处已知这种汽车行驶100公里消耗的油量为升，问云云这次消耗了多少升汽油
（
5 有理数的减法
题型一 有理数减法法则
1．计算8﹣（2﹣5）的结果等于（ ）
】
A．2
B．11
C．﹣2
D．﹣8
2．下列算式中：①2﹣（﹣2）＝0；②（﹣3）﹣（+3）＝0；③（﹣3）﹣|﹣3|＝0；④0﹣（﹣1）＝1．其中正确的有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列各式错误的是（ ） A．﹣|+2|＝﹣2
B．﹣（+2）＝﹣2
C．﹣（﹣2）＝2
D．﹣|﹣2|＝2
4．若|x|＝7，|y|＝3，且x＞y，则y﹣x等于（ ） A．﹣4
B．﹣10
C．4或10
D．﹣4或﹣10
5．比﹣3小5的数是 ，|﹣5|﹣9＝ ．
…
6．将算式（﹣4）﹣（﹣7）﹣（+8）+（+3）写成省略括号的形式为 ． 7．已知a是最大的负整数，|b|＝2且b＜0，则a﹣b的值为 ． 8．计算 （1）﹣
（2）12﹣（﹣18）+（﹣7）
（3）16﹣（﹣8）﹣4
（4）
…
题型二 有理数减法法则的应用
9．已知月球表面的最高温度是127℃，最低温度是﹣183℃，则月球表面的温差是（ ）
,
A．56℃
B．65℃
C．300℃
D．310℃
10．如图是我市今年2月份连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中温差最大的是（ ）
A．星期一
B．星期三 C．星期五 D．星期日
11．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是﹣10℃，1℃，﹣7℃，它们任意两城市中最大的温差是（ ） A．11℃
B．17℃
C．8℃
D．3℃
12．在一个峡谷中，测得A地的海拔为﹣11m，B地比A地高15m，C地比B地低7m，则C地的海拔为（ ）
:
A．11
B．﹣19
C．3
D．﹣3
13．某条河流的最高水位是米，警戒水位是米，把它的警戒水位作为0点，则最高水位用有理数表示为 米．
14．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+7、﹣4、+3、﹣11、﹣6、+12、﹣10 （1）守门员最后是否回到了球门线的位置
（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米 （3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米
,
、
15．阅读理解
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝|0﹣（﹣1）|＝1；线段BC＝|2﹣0|﹣2；线段AC＝|2﹣（﹣1）|＝3． 问题
（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣8和1，则线段MN＝ ； （2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣2，则线段EF＝ ；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m的值．
\\
6 有理数的加减混合运算
。
题型一 有理数的加减混合运算
1．下列运算：①7﹣（﹣4）＝3，②（﹣3）﹣（﹣5）＝2，③0+（﹣3）＝0，④0﹣（﹣7）＝7，正确的是（ ） A．①②
B．②④
C．①③
D．①②④
2．下列运算正确的是（ ） A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11
B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10
3．计算：（﹣14）﹣（﹣10）+＝（ ） A．﹣8
B．﹣7
C．﹣4
D．﹣3
—
4．把（+5）﹣（+3）﹣（﹣1）+（﹣5）写成省略括号的和的形式是 ． 5．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，则a+b+c的值等于 ． 6．计算
（1）36+（﹣76）+（﹣24）+64 （2）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣20
（3）4﹣6﹣（﹣1）+（﹣1） （4）﹣5﹣9+17﹣3
.
题型二 有理数减法法则的应用
7．某地一天早晨的气温是﹣5℃，中午上升了10℃，午夜又下降了8℃，则午夜的气温是（ ） A．﹣3℃
`
B．﹣5℃ C．5℃ D．﹣9℃
8．清晨蜗牛从树根沿着树干往上爬，树高12m，白天爬3m，夜间下滑2m，它从树根爬上树顶，需（ ）天．
A．8天 B．9天 C．10天 D．11天 9．若a，b是有理数，则代数式
的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．0或±2
10．若a、b为有理数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么a+b的值是（ ） A．大于零
B．小于零
C．等于零
D．无法确定
11．我校图书馆上周借书记录如下：（超过400本记为正，少于400本记为负）．
星期一
星期三
星期四
星期五
…
星期二
+33
0
﹣25
+10
%
+12
（1）上星期三借出多少本书
（2）上星期四比上星期三多借出多少本书 （3）上周平均每天借出图书多少本
12．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，﹣8，+9，﹣6，+14，﹣5，+13，﹣4．
-
（1）B地位于A地的什么方向距离A地多少千米
（2）若冲锋舟每千米耗油升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油
（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米
'
13．出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向
西为负，他这天上午行车里程（单位：km）如下： +8，+4，﹣10，﹣3，+6，﹣5，﹣2，﹣7
（1）将第几名乘客送到目的时，老王刚好回到上午出发点 （2）将最后一名乘客送到目的地时，老王距上午出发点多远 （3）若汽车耗油量为km，这天上午老王耗油多少升
-
7 有理数的乘法
有理数的乘法
￥
题型一 有理数的乘法
1．计算（﹣2）×6的结果等于（ ） A．﹣12
B．12
C．﹣4
D．4
2．下列说法中正确的有（ ）
①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的两数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积；⑤任何正数都大于它的倒数． A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．已知a、b在数轴上对应点的位置如图，则下列结论中正确的是（ ）
（
A．|a|﹣b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b＞0 D．ab＞0
4．在﹣9，5，﹣3，7这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最小是（ ） A．﹣63
5．计算：﹣×（﹣
B．﹣35 ）＝ ．
C．﹣27
D．﹣45
6．计算：
（1）×3 （2）（+）×（﹣） （3）（﹣）×（﹣）
·
题型二 倒数 7．
的倒数是（ ）
A． B． C． D．
\\
8．下列说法：
①如果两个数的和为1，则这两个数互为倒数；②如果两个数的积为0，则至少有一个数为0；③绝对值是它本身的有理数只有0；④倒数是它本身的数是﹣1； 其中正确的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．下列各式中，表示a、b互为倒数的是（ ） A．a+b＝1
B．a+b＝0
C．ab＝1
D．ab＝0
10．一个数等于这个数的倒数，则这个数是 ． 11．一个数的相反数是2，这个数的倒数是 ．
—
有理数的乘法运算律
题型一 多个有理数相乘
1．下列计算中，积为正数的是（ ） A．2×3×5×（﹣4） C．（﹣2）×0×5×（﹣4）
（
B．2×（﹣3）×（﹣5）×（﹣4）
D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）×（﹣5）
2．若三个有理数的积为0，则（ ）
A．三个数都为0 C．一个数为0
B．两个数为0 D．至少一个数为0
3．a、b、c为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ） A．a＞0，b、c同号 C．c＞0，a、b异号
B．b＞0，a、c异号 D．a、b、c同号
4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）
<
A．和为正数
B．和为负数
C．积为正数
D．积为负数
5．计算：
（1）﹣×（﹣ ）×1； （2）×（﹣）×（﹣）×（﹣2）
题型二 有理数的乘法运算律 6．
了运算简便而使用（ ）
}
这是为
A．乘法交换律 C．乘法分配律
B．乘法结合律
D．乘法结合律和交换律
7．下列各式中，不正确的一项是（ ） A．（﹣3）﹣5＝（﹣3）+5 C．
B．3﹣（﹣4）＝3+4 D．﹣5＝﹣5×5×5
3
8．计算（1﹣++）×（﹣12），运用哪种运算律可以避免通分（ ）
A．乘法分配律 C．乘法交换律
<
B．乘法结合律 D．乘法结合律和交换律
9．计算：（﹣+）×（﹣24） 25×
（﹣48）×+48×+（﹣48）× （
*
）×（﹣36）
有理数的乘法运算律-提升
1．下列计算中，错误的是（ ）
A．（﹣6）×（﹣5）×（﹣3）×（﹣2）＝180 B．（﹣36）×（﹣﹣）＝﹣6+4+12＝10
.
C．（﹣15）×（﹣4）×（+）×（﹣）＝6
D．﹣3×（﹣5）﹣3×（﹣1）﹣（﹣3）×2＝24
2．已知两个有理数a，b，如果ab＞0且a+b＜0，那么（ ） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0
C．a，b异号 D．a，b异号，且负数的绝对值大
3．计算（﹣3）××（﹣）×（﹣） ×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．
（
（﹣7）×
×
．
4．观察：
—
等式（1）2＝1×2 等式（2）2+4＝2×3＝6
等式（3）2+4+6＝3×4＝12 等式（4）2+4+6+8＝4×5＝20 （1）仿此：请写出等式（5） ；…，等式（n） ． （2）按此规律计算： ①2+4+6+…+34＝ ； ②求28+30+…+50的值．
8 有理数的除法
#
题型一 有理数的除法法则
1．将式子（﹣1）×（﹣1）÷中的除法转化为乘法运算，正确的是（ ）
A．（﹣1）×（﹣）× B．（﹣1）×（﹣）×
C．（﹣1）×（﹣）× D．（﹣1）×（﹣）×
2．两个数的商为正数，那么这两个数是（ ） A．都为正数或都为负数 C．一正一负
|
B．至少一个为负数 D．至少一个为正数
3．下列结论中正确的是（ ）
A．0是最小的数 B．0℃表示没有温度
C．小学学过的数前面添上“﹣”，就是负数 D．0既不是正数，也不是负数 4．下列说法中，正确的有（ ）
①任何数乘以0，其积为0；②任何数乘以1，积等于这个数本身；
③0除以任何一个数，商为0；④任何一个数除以﹣1，商为这个数的相反数．
|
A．2个
B．3个 C．4个 D．1个
题型二 应用有理数的除法法则计算
5．如果（ ）×（﹣）＝﹣1，则括号内应填的数是（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6．（﹣9）÷的结果等于（ ）
A．3
、
B．﹣3 C．27 D．﹣27
4
5
7．若ab互为倒数，cd互为相反数，则（ab）﹣3（c+d）的值是（ ）
A．1
B．﹣3
C．﹣1
D．﹣2
8．计算：﹣1÷3×（﹣）＝ ．
9．计算：
（1）（﹣2）×3； （2）
．
[
10．计算：（﹣3）×6÷（﹣2）×． （﹣）×（﹣）÷（﹣2）．
﹣÷
;
题型一 乘方的运算
?
1．﹣32
的结果等于（ A．9 2．（﹣1）2020
等于（ A．1
9 ）
B．﹣9
B．﹣2020
﹣4×÷（﹣）×2
C．﹣1 C．2020 D．﹣6
D．﹣1
有理数的乘方 ）
3．计算（﹣18）÷（﹣6）的结果等于 （ ） A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
2
4．下列各数（﹣2）、﹣2、0、﹣|﹣2|、﹣（﹣2）、（﹣2）中，负数有（ ） A．1个
{
243
B．2个 C．3个 D．4个
2020
5．计算（﹣2）A．2
2019
÷（﹣2）
2019
所得的结果是（ ）
2019
B．﹣2 C．﹣2 D．1
6．下列各组数中，相等的是（ ） A．﹣（﹣2）和﹣（﹣2） C．﹣（﹣2）和﹣|﹣2| 7．下列运算正确的是（ ） A．﹣2＝（﹣2） C．﹣3×2＝﹣3×3
】
22
B．﹣（﹣2）和﹣（+2） D．﹣（﹣2）和﹣（+2）
22
33
B．（﹣3）＝﹣3 D．﹣3＝﹣2
2
3
22
32
2
2
3
3
8．式子﹣2+（﹣2）﹣（﹣2）﹣2的值为（ ）
A．﹣2
B．6
2
2
C．﹣18
2
D．0
2
9．下列计算：①（﹣）＝； ②﹣3＝9； ③（）＝；④﹣（﹣）＝；⑤（﹣2）＝﹣4，其中错误的有（ ） A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
2
10．下列说法：①﹣a一定是负数；②|﹣a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；⑤平方等于它本身的数是1．其中正确的个数是（ ）
A．1个 11．（﹣2）A．﹣2
<
B．2个
+3×（﹣2）
2019
C．3个 D．4个
2020
的值为（ ）
2019
2019
B．2 C．﹣2
2020
D．2
2020
4
12．在（）中，底数是 ．
13．计算：（﹣1）
2019
＝ ；2÷×3＝ ．
14．若x、y互为倒数，则（﹣xy）15．若x＝4，则x＝ ． 16．（﹣1）
20202
3
2020
＝ ．
÷ ﹣2÷×
2
．
[
17．把下列各数填在相应的集合内： ﹣1，﹣20%，
，4，0，
2
，﹣3，
2
负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …}；
18．由乘方的意义可知，（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2），反过来，（﹣2）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），请你利用乘方的意义和乘法运算律计算：
．
33
？
10 科学计数法
题型一 用科学计数法表示绝对值很大的数
)
1．2020年5月5日18时，长征五号B运载火箭首飞成功，标志着我国空间站工程建设进入实质阶段．长征五号B运载火箭运载能力超过22000千克，是目前我国近地轨道运载能力最大的火箭．将22000用科学记数法表示应为（ ） A．×10
4
B．×10
5
C．22×10
3
D．×10
5
2．在迎来庆祝新中国成立70周年之后，对于中国而言，2020年又将是一个新的时间坐标．过去40年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将0用科学记数法表示为（ ） A．×10
9
B．×10
9
C．×10
8
D．82×10
7
3．据国家卫健委通报，截至到3月9日，全国支援武汉和湖北抗击疫情的医护人员已达到
万人．将42600用科学记数法表示为（ ） A．×10
>
3
B．×10
3
C．×10
4
D．×10
5
4．中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（ ） A．×10
4
B．×10
3
C．×10
2
D．55×10
2
5．截至1月31日下午，我市慈善总会在这次新型冠状病毒肺炎疫情中，募集到疫情防控专项捐款累计8721000元．数据8721000用科学记数法可以表示为 ．
6．《战狼2》中“犯我中华者，虽远必诛”，令人动容、热血沸腾．其票房突破00元，将00用科学记数法表示为 ．
7．2020年5月22日，李克强总理在政府工作报告中指出，农村贫困人口减少人，脱贫攻坚取得决定性成就，把数用科学记数法表示为 ．
题型二 将用科学计数法表示的数还原
?
8．中国国家图书馆藏书数用科学记数法表示为×10册，这个数原来是 册．
7
；
第二章 有理数及其运算
1 有理数
）
1、A 2、A 3、1至6月份的利润分别是：+33万元，+32万元，﹣万元，﹣万元，+万元，+54万元 4、B 5、B 6、2,3 7、D 8、D 9、（1） 正整数，零，负整数 ，（2） 正分数和负分数 ，（3） 整数和分数 ． 10、整数：1，﹣789，325，0，﹣20；分数：﹣，，，1 ；
正数：1，，325，，1 ；负数：﹣，﹣789，﹣20．
11、这五袋白糖共超过（﹣4+﹣+）＝千克， （2）总重量是5×50+＝千克，
12、正数集合{ 2，+27 }负数集合{ ﹣，﹣，﹣15%，﹣1 } 整数集合{ 2，0，﹣3，+27，﹣1 }分数集合{ ﹣，﹣，﹣15% } 非负数集合{ 2，0，+27 }
#
1 有理数-提升
1、D 2、D 3、C 4、A 5、整数有 0，2008，﹣23，3 ，负分数有 ﹣ ．2,3 7、 8、正有理数集合：{ 2，，，+27，
，0.，…}，
负有理数集合：{﹣，﹣5，﹣，﹣，﹣15%，﹣，…}，
整数集合：{ 2，﹣5，0，+27，…}， 正分数集合：{ ，，
，0. …}，
负分数集合：{﹣，﹣，﹣，﹣15%，﹣…}，
非负整数集合：{ 2，0，+27…}．
、
9、（1）+7﹣3+6﹣1+2＝11（千米） （2）∵+7﹣3+6﹣1+2﹣4＝7，
∴将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点O7千米，在O点的南边． （3）起步费总共为：8×6＝48（元）
、 6
超过3千米的部分的费用为：×（|+7|﹣3+|+6|﹣3+|﹣4|﹣3）＝×8＝12（元） ∴48+12＝60（元）
2 数轴
1、原点，单位长度，正方向． 2、B 3、C 4、﹣2，﹣1，0，1 5、A点表
示﹣4，B点表示﹣，C点表示，D点表示3，E点表示．
，
6、（1）若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，∴p＝1+0﹣2＝﹣1； 若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A表示﹣31，∴p＝﹣31﹣29﹣28＝﹣88．
7、C 8、﹣n＜m＜﹣m＜n 9、＞，＞，＜ 10、（1）A ﹣4 、 ﹣2 、 3 ；（2） ﹣5 ；（3） 0 ．
2 数轴-提升
1．C； 2．C； 3．A； 4．C；5．﹣8或2； 6．﹣10或﹣1或8；7、
^
由数轴上各点的位置可知，﹣4＜0＜1＜4＜5．
8、（1）A：2 B：6 C：﹣4；
（2）如图，C点即蚂蚁的位置，可见向左爬行了4个单位长度．
9、（1）：0；（2）①﹣4；②，A表示的数是﹣，B表示
3 绝对值
1、C 2、A 3、0，正数 4、4，﹣4 5、A 6、C 7、C 8、±3 9、C 10、C 11、B
|
12、
把各数用“＞”连接起来：﹣（﹣2）＞|﹣|＞﹣|﹣|＞﹣1＞﹣2．
3 绝对值-提升
1．A； 2．B； 3．B； 4．B；5．±11或±3； 6．±7；±7；a﹣3；a﹣3；7．（1）＜；＞；＞；（2）∵b﹣c＜0，b﹣a＞0，a+c＞0，∴|b﹣c|+|b﹣a|﹣|a+c|＝﹣b+c+b﹣a﹣a﹣c＝﹣2a．
8.（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1， ∵b是﹣5的相反数，∴b＝5，
-
∵c＝﹣|﹣3|，∴c＝﹣3；
（2）由题意，可知A点表示的数是﹣1，B点表示的数是5， 设运动t秒后，P点对应的数是﹣1+3t，Q点对应的数是5+t，
P点追上Q点时，两个点表示的数相同，∴﹣1+3t＝5+t，∴t＝3，
（3）由（2）知，t秒后，M点对应的数是﹣3+6t， 当M点追上Q点时，5+t＝﹣3+6t，∴t＝， 此时M点对应的数是，
此后M点向数轴负半轴运动，M点对应的数是﹣6（t﹣）＝﹣6t+，
MQ＝5+t﹣（﹣6t+）＝7t﹣， MP＝|﹣6t++1﹣3t|＝|9t﹣|，
由题意，可得7t﹣＝2|9t﹣|， 当t≥
时，7t﹣＝18t﹣，∴t＝
；
当＜t＜时，7t﹣＝﹣18t+，∴t＝；
∴t＝或t＝，
∴﹣＝，﹣＝，
∴追上后，再经过s或sM到Q的距离等于M到P距离的两倍．
有理数的加法
1、B 2、B 3、D 4、3或7 5、C 6、C 7、B 8、D 9、C 10、﹣2；﹣8 11、﹣4或﹣10 12、（1）（﹣2﹣4++3﹣++3﹣1+0﹣）÷10+20＝20（千克）．（2）20×400×4＝32000（元）． 13、（1）如图：
（2）C村离A村为：3+1＝4（km）．
（3）邮递员一共骑行了：3+2+6+1＝12（km）．
有理数的加法运算律
1、D 2、（1）+，﹣，0；（2）﹣，﹣，﹣，+，﹣2 3、D 4、D 5、C 6、2或﹣2 7、1；﹣1；0． 8、21﹣9×6＝21﹣54＝﹣33 9、（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）＝[（﹣23）+（﹣17）]+（+58） ＝（﹣40）+（+58）＝18
（2）（﹣）+（﹣）+＝（﹣）+[（﹣）+]＝﹣+0＝﹣ （3）
＝[+（﹣）]+[（﹣）+（+）]＝﹣+＝﹣
5 有理数的减法
1、B 2、A 3、D 4、D 5、 ﹣4+7﹣8+3 6、﹣8；﹣4 7、1 8、（1）原式＝
＝
；（2）原式＝12+18﹣7＝23；
（3）原式＝16+（）＝16+＝；
（4）原式＝＝﹣7+3＝﹣4．
9、D 10、D 11、A 12、D 13、+
14、（1）（+7）+（﹣4）+（+3）+（﹣11）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）＝﹣9． （2）7﹣4＝3，3+3＝6，6﹣11＝﹣5，﹣5﹣6＝﹣11，﹣11+12＝1，1﹣10＝﹣9，
（3）|+7|+|﹣4|+|+3|+|﹣11|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|＝53（米） 15、 （1）9；（2）4；（3）由题可得，|m﹣2|＝5，解得m＝﹣3或7，
6 有理数的加减混合运算
1、B 2、B 3、C 4、+5﹣3+1﹣5 5、﹣4或﹣6
6、（1）原式＝（36+64）﹣（76+24）＝0；（2）原式＝（12+18）﹣（7+20）＝3； （3）原式＝4﹣6+1﹣1＝﹣2；（4）原式＝
＝
．
7、A 8、C 9、D 10、B
11、（1）400﹣25＝375（本），（2）10﹣（﹣25）＝35（本）， （3）400+（33+0﹣25+10+12）÷5＝400+30÷5＝406（本）， 12、（1）∵15﹣8+9﹣6+14﹣5+13﹣4＝28，
（2）这一天走的总路程为：15+|﹣8|+9+|﹣6|+14+|﹣5|+13|+|﹣4|＝74千米， 应耗油74×＝（升），故还需补充的油量为：﹣30＝（升）， （3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
15千米；15﹣8＝7千米；7+9＝16千米；16﹣6＝10千米；10+14＝24千米； 24﹣5＝19千米；19+13＝32千米；32﹣4＝28千米． ∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．
13、（1）∵（+8）+（+4）+（﹣10）+（﹣3）+（+6）+（﹣5）＝0∴是第6位乘客， （2）（+8）+（+4）+（﹣10）+（﹣3）+（+6）+（﹣5）+（﹣2）+（﹣7）＝﹣9， （3）|+8|+|+4|+|﹣10|+|﹣3|+|+6|+|﹣5|+|﹣2|+|﹣7|＝55，55×＝22（升）．
有理数的乘法
1、A 2、C 3、A 4、A 5、 6、（1）原式＝；（2）原式＝﹣×
＝﹣；（3）原式＝×＝． 7、C 8、A 9、C 10、±1 11、﹣
有理数的乘法运算律
1、D 2、D 3、A 4、D 5、（1）原式＝﹣×（﹣ ）×
＝；
（2）原式＝×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣1．
6、D 7、A 8、A
9、原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝3．
原式＝25×（）＝﹣5．
原式＝（﹣48）×（﹣+）＝﹣60；
原式＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+
×（﹣36）＝5．
有理数的乘法运算律-提升
1、C 2、B 3、原式＝（﹣3）××（﹣）×（﹣）＝﹣
原式＝×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣1．
原式＝﹣7××＝﹣．
原式＝（﹣﹣+）×24﹣×（﹣）×（﹣8）＝27．
4、（1）2+4+6+8+10＝5×6＝30；2+4+6+8+…+2n＝n（n+1）；
（2）①306；②原式＝（2+4+6+8+…+50）﹣（2+4+6+…+26）＝25×26﹣13×14＝468．
8 有理数的除法
1、B 2、A 3、D 4、B 5、A 6、D 7、A 8、
9、（1）原式＝﹣2×3＝﹣6；（2）原式＝×＝．
10、原式＝＝3×6××＝． 原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．
原式＝﹣××（﹣）＝1 原式＝﹣4××（﹣2）×2＝8
9 有理数的乘方
1．B； 2．A； 3．D； 4．C； 5．C； 6．B； 7．A； 8．D； 9．B； 10．A； 11．A； 12．﹣； 13．﹣1；18； 14．1； 15．±8；
16、原式＝1××（﹣8）＝﹣3 原式＝﹣4××＝﹣
原式＝﹣4×（﹣）﹣8﹣＝﹣8．
17、负整数集合：{ ﹣1，﹣3 …}；正分数集合：{ 4，
22
， …}
非负整数集合：{ 4，0 …}；
2
18、原式＝（）×（﹣）＝﹣1
55
10 科学计数法
1．A； 2．C；
．C； 4．B；5．×106
；．×109
；．×107
；．； 3 6 7 8
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