青岛市2015年中考数学真题及答案详解Word版

青岛市2015年初中学生学业考试

数 学 试 题

（考试时间：120分钟；满分：120分）

第（Ⅰ）卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1．2的相反数是（ ）．

A．2

B．2

C．

1 2D．2

2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s，把0.000 000 001s用科学计数法可以表示为（ ）．

A．0.110s

8B．0.110s

9C．110s

8D．110s

93．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则

BC=（ ）．

A．3 C．3

B．2 D．32

5．小刚参加射击比赛，成绩统计如下表

成绩（环） 次数 6 1 7 3 8 2 9 3 10 1 关于他的射击成绩，下列说法正确的是（ ）． A．极差是2环

B．中位数是8环 C．众数是9环

D．平均数是9环

6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ） A．30°

B．35°

C．45°

D．60°

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若

EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）．

A．4

B．46 C．47

D．28

8. 如图，正比例函数y1k1x的图像与反比例函数y2为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）． A．x＜2或x＞2

B．x＜2或0＜x＜2

k2的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标x C．2＜x＜0或0＜x＜2 D．2＜x＜0或x＞2 第Ⅱ卷

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9．计算：3a3a22a7a2________.

10．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的点A的对应点A＇的坐标是＿＿＿＿＿＿＿．

1，那么 3

11．把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（cm）与高h(cm)之间的函数关系是为_________________________

12．如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B的坐标分别为（1,1）、（-1,1）， 把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得到正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇则正方形ABCD与正方形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇ 重叠部分形

2

成的正八边形的边长为_____________________°．

13．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，则∠F= ．

14．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭的几何体拼成一个大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小正方体，王亮所搭几何体表面积为________________. 三、作图题（本题满分4分）

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15．已知：线段c，直线l及l外一点A．

求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥l，垂足为C）斜边AB＝c．

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分，每题4分）

2n1n21n)（1）化简：(； nn

（2）关于x的一元二次方程 2x3xm0有两个不相等的实数根，求m的取值范围

17．（本小题满分6分）

某小学为了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下：

2

（1）补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中扇形D的圆心角的度数；

（3）若该中学有2000名学生，请估计其中有多少名学生能在1.5小时内完成家庭作业？

18．（本小题满分6分）

小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1~4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字。若两次数字之和大于5，则小颖胜，否则小丽胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。

19．（本小题满分6分）

小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45° 和35°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m。请求出热气球离地面的高度。 （结果保留整数，参考数据：sin35

757， cos35，tan35 12610

20．（本小题满分8分）

某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。 （1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？

（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度l(m)与甲盒数量n(个)之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。

21．（本小题满分8分）

已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E． （1）求证：△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？ 请证明你的结论．

22．（本小题满分10分）

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物

线可以用y1712xbxc表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。

26 （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

23．（本小题满分10分）

问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ 问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一：

（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形。所以，当n3时，m1 （2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形 所以，当n4时，m0

（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n5时，m1

（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？

若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n6时，m1 综上所述，可得表①

n m 探究二：

3 1 4 0 5 1 6 1 （1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）

（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ （只需把结果填在表②中）

n m 7 8 9 10 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，„„ 解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （设n分别等于4k1、4k、4k1、4k2，其中k是整数，把结果填在表③中）

n m

4k1 4k 4k1 4k2 问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？ （要求写出解答过程）

其中面积最大的等腰三角形每个腰用了__________________根木棒。（只填结果） 24．（本小题满分12分）

已知：如图①，在□ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm．AC⊥AB。△ACD沿AC的方向匀速平移得到

△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动．如图②，设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）设△QMC的面积为y(cm)，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2

参考答案

一、选择

题号 答案 二、填空 题号 答案 三、作图

四、解答题

9 10 （2,3） 11 12 13 40° 14 19, 48 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 A 7 C 8 D a5 S6 h222 (n1)2nn116、（1）原式= n(n1)(n1)n1 （2）由题知3242(m)＞9，解得m＞99，答：m的取值范围是m＞ 8817、（1） （2）360327 40 （3）2000(25%30%35%)1800 18、解：

第二次 第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能结果，其中大于5的有共有6种。 P(数字之和＞5）3163，因为，所以不公平。

82168

19，解：如图，作AD⊥CB延长线于点D 由题知：∠ACD=35°、∠ABD=45° 在Rt△ACD中，∠ACD=35° tan35AD710 所以CDAD CD107AD1 所以BDAD BD 在Rt△ABD中，∠ABD=45° tan45 由题BCCDDB100 所以

10ADAD100 7 解得AD233m 答：热气球到地面的距离约为233米 20，解：（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料 由题可得：

662 解得x0.5（米） x(120%)x 经检验x0.5是原方程的解，所以(120%)x0.6 答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料 （2）由题n2(3000n) ∴2000n3000

n3000 l0.6n0.5(3000n)0.1n1500

∵k0.1＞0，∴l随n增大而增大，∴当n2000时，l最小1700 21:，（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又因为AD是BC边上的中线 所以AD⊥BC，即∠ADB=90° 因为AE∥BC 所以∠EAC=∠ACB 所以∠B=∠EAC

∵CE⊥AE ∴∠CEA=90° ∴∠CEA=∠ADB

又AB=AC ∴△ABD≌△CAE（AAS） （2）AB∥DE且AB=DE。

由（1）△ABD≌△CAE可得AE=BD， 又AE∥BD，所以四边形ABDE是平行四边形 所以AB∥DE且AB=DE

22，解：（1）由题知点B(0,4),C(3,17)在抛物线上 2c4b212 所以17，解得，所以yx2x4 1693bcc462 所以，当x 答：yb6时，y最大10 2a12x2x4，拱顶D到地面OA的距离为10米 6 （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x2(或x10)时，y （3）令y8，即22＞6，所以可以通过 312x2x48，可得x212x240，解得x1623,x2623 6 x1x243 答：两排灯的水平距离最小是43 23，解：探究二

（1）若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形 若分为2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形 若分为3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当n7时，m2

n m

7 2 8 1 9 2 10 2 n m 4k1 k1 4k 4k1 4k2 k1 k1 k 问题应用：∵2016=4×504 所以k=504，则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形； 672 24，解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC 由平移性质可得MN∥AB 因为PQ∥MN，所以PQ∥AB，所以

BC2AB24

CPCQ4tt20，解得t，即 CACB459（2）作PD⊥BC于点D，AE⊥BC于点E 由SABC1112ABACAEBC可得AE 22516 5则由勾股定理易求CE

因为PD⊥BC，AE⊥BC

所以AE∥PD，所以△CPD∽△CAE 所以

4tCDPDCPCDPD，即（备注，粗略通读题，用得着的计算一并先算出） 16124CACEAE55123t164t，CD 55123t 5求得：PD因为PM∥BC，所以M到BC的距离hPD所以，△QCM是面积y11123t36CQhtt2t 225105（3）因为PM∥BC，所以SPQCSMQC

若S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4，则S△QMC∶S△ABC＝1∶5 即：3261tt6，整理得：t24t40，解得t2 1055 答：当t=2时，S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4 （4）若PQMQ，则∠MDQ=∠PDQ=90° 因为MP∥BC，所以∠MPQ=∠PQD， 所以△MQP∽△PDQ，所以

PMPQ，所以PQ2PMDQ PQDQ164t169t，所以DQ = CD-CQ 55 即：PD2DQ2PMDQ，由CD 故(123t2169t2169t2)()5，整理得2t3t0 5553 2 解得t10(舍),t2 答：当t3时，PQMQ。 2