一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．化简A．5
的结果是（ ）
B．﹣5 C．±5 D．25
2．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ） A．（2x2）3=2x5 B．
÷
=2
C．3a2+2a=5a3
D．2m•5n=10mn
4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为（ ）
A．20° B．30° C．36° D．40°
5．已知正比例函数y=（3m+2）x的图象过点（2，10），则m的取值为（ ） A．1
B．﹣1 C．
D．﹣
6．如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB=AC=10，BC=12，且PD：PE：PF=1：3：3，则AP的长为（ ）
1
A． B． C．7 D．8
7．点P是直线y=﹣x+4上一动点，O为原点，则线段OP的最小值为（ ） A．2
B．
C．2
D．4
8．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，„，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ） A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2
D．CnHn+3
9．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
10．二次函数y=x﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是（ ） A．y=x2﹣16x+55 B．y=x2+8x+7 C．y=﹣x2+8x+7 D．y=x2﹣8x+7
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11．不等式3x﹣5＜7的非负整数解有 ．
12．请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为 ． B．用科学计算器计算：
tan55°36′= ．（结果精确到0.1）
2
13．如图，在Rt△AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y=的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO=4，tan∠BAO=2，则k= ．
2
14．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EOF=90°，则S四边形OEBF：S正方形ABCD= ．
三、解答题（本大题共11小题，共78分） 15．计算：|3﹣π|+（﹣）﹣16．解分式方程：
=1﹣
．
0
+（0.1）．
﹣2
17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
18．我国二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，随机对本校部分同学进行了问卷调查，同学们对父母生育二孩所持的态度，分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）在这次问卷调查中一共随机调查了多少名学生？ （2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．
3
19．（7分）在△ABC中，AB=AC，过点C作CN∥AB且CN=AC，连接AN交BC于点M．求证：BM=CM．
20．（7分）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，在同类型重载桥梁中，它的主跨度居世界第二．如图，是该桥面上的一根立柱和拉索的示意图，小明测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离BD为20米，且已知两拉索顶端的距离AC为2米，请求出立柱AH的长．（结果精确到0.1米，1.732）
≈
21．（7分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天定价为120元时，房间会全部注满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，那么宾馆需对所居住的每个房间每天支出20元的相关消耗，打扫费用，设每个房间定价增加10x元（x为正整数）．
（1）请直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每个房间每天的定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
22．（7分）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图
4
形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张． （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）； （2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE． （1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
24．（10分）如图，已知抛物线y=ax﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°． （1）求该抛物线的表达式；
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
2
25．（12分）（1）如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，将△BCD绕点D逆时针旋转90°，则点B恰好落在点A处，得到旋转后的△AED，则AC、BC、CD满足的数量关系式是 ．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且长．
5
=，若AB=13，BC=12，求CD的
（3）如图3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．化简的结果是（ ）
A．5
B．﹣5 C．±5 D．25
【考点】73：二次根式的性质与化简． 【分析】利用
=|a|得到原式=|﹣5|，然后去绝对值即可．
【解答】解：原式=|﹣5|=5． 故选A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简： =|a|．
2．如图，将两个形状和大小都相同的杯子叠放在一起，则该实物图的主视图为（
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
）
6
【分析】根据图形的三视图的知识，即可求得答案．
【解答】解：该实物图的主视图为．
故选B．
【点评】此题考查了简单组合图形的三视图．考查了学生的空间想象能力．
3．下列计算正确的是（ ） A．（2x2）3=2x5 B．
÷
=2
C．3a2+2a=5a3
D．2m•5n=10mn
【考点】49：单项式乘单项式；22：算术平方根；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】利用单项式乘单项式、算术平方根、合并同类项及幂的运算的有关知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、（2x）=8x，故错误； B、
÷
=
，故错误；
2
3
6
C、3a2+2a=3a2+2a，故错误； D、2m•5n=10mn，正确， 故选D．
【点评】本题考查了单项式乘单项式、算术平方根、合并同类项及幂的运算的有关知识，属于基础运算，难度不大．
4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为（ ）
A．20° B．30° C．36° D．40°
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠
7
AED′=108°，即可得出∠FED′的大小． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°， ∴∠FED′=108°﹣72°=36°； 故答案为：36°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
5．已知正比例函数y=（3m+2）x的图象过点（2，10），则m的取值为（ ） A．1
B．﹣1 C．
D．﹣
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出10=2（3m+2），解之即可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y=（3m+2）x的图象过点（2，10）， ∴10=2（3m+2）， 解得：m=1． 故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
6．如图，P为等腰△ABC内一点，过点P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，已知AB=AC=10，BC=12，且PD：PE：PF=1：3：3，则AP的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
【考点】KQ：勾股定理；KH：等腰三角形的性质．
8
【分析】连接AP，根据角平分线的判定定理得到点P在∠A的平分线上，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理、三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：连接AP， ∵PE⊥AC，PF⊥AB，PE=PF， ∴点P在∠A的平分线上， ∵AB=AC，PD⊥BC， ∴AD⊥BC，BD=DC=6， 由勾股定理得，AD=
=8，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x， 则×12×8=×10×3x×2+×12×x， 解得，x=，即PD=， ∴AP=8﹣=故选：B．
，
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、角平分线的判定、等腰三角形的性质，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
7．点P是直线y=﹣x+4上一动点，O为原点，则线段OP的最小值为（ ） A．2
B．
C．2
D．4
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F5：一次函数的性质．
【分析】设直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x值，进而即可得出OA、OB的长度，利用勾股定理即可得出AB的长度，再利用面积法即可求出OP的长度．
【解答】解：设直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，
9
垂足为点P，此时线段OP最小． 当x=0时，y=﹣x+4=4， ∴点A（0，4）， ∴OA=4；
当y=﹣x+4=0时，x=4， ∴点B（4，0）， ∴OB=4， ∴AB=∴OP=故选C．
=2
=4．
．
【点评】本题考查了点到直线的距离、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，利用点到直线之间，垂直线段最短找出点P的位置是解题的关键．
8．“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，„，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ） A．CnH2n+2 B．CnH2n C．CnH2n﹣2
D．CnHn+3
【考点】37：规律型：数字的变化类．
【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题． 【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an， 观察，发现规律：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，„， ∴an=2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．
10
故选A．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=2n+2”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
9．如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD．若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理．
【分析】首先连接OD，由CA，CD是⊙O的切线，∠ACD=30°，即可求得∠AOD的度数，又由OB=OD，即可求得答案． 【解答】解：连接OD， ∵CA，CD是⊙O的切线， ∴OA⊥AC，OD⊥CD， ∴∠OAC=∠ODC=90°， ∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=360°﹣∠C﹣∠OAC﹣∠ODC=150°， ∵OB=OD，
∴∠DBA=∠ODB=∠AOD=75°． 故选D．
【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
11
10．二次函数y=x﹣4x﹣5的图象关于直线x=﹣1对称的图象的表达式是（ ） A．y=x2﹣16x+55 B．y=x2+8x+7 C．y=﹣x2+8x+7 D．y=x2﹣8x+7 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】将y=x﹣4x﹣5配方得，y=（x﹣2）﹣9，求得抛物线y=x﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣9），求得点（2，﹣9）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣4，﹣9），于是得到结论．
【解答】解：∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴抛物线y=x2﹣4x﹣5的顶点坐标为（2，﹣9），
∵点（2，﹣9）关于直线x=﹣1的对称点的坐标为（﹣4，﹣9）， 而抛物线y=x2﹣4x﹣5关于直线y=﹣1对称后图象的开口相同， ∴所求抛物线解析式为y=（x+4）﹣9． 即所求抛物线解析式为y=（x+4）﹣9， 故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11．不等式3x﹣5＜7的非负整数解有 0，1，2，3 ． 【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
【分析】此题根据不等式的性质，在不等式的两边加上5除以3，即可求得不等式的解集，继而求得其非负整数解．注意此题系数化一时，除以的是正数，不等号的方向不改变； 【解答】解：移项得：3x＜7+5 系数化一得：x＜4
∴不等式3x﹣5＜7的非负整数解有0，1，2，3．
【点评】此题考查了一元一次不等式的解法．解题时要注意：系数化一时，系数是正数，不等号的方向不变；系数是负数时，不等号的方向改变．还要注意按题目要求解题．
12．请从以下两小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． A．正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为 12 ．
12
22
2
2
2
2
B．用科学计算器计算： tan55°36′= 4.3 ．（结果精确到0.1）
【考点】T6：计算器—三角函数；25：计算器—数的开方；L3：多边形内角与外角． 【分析】若选A：一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以一个外角的度数就可以求出多边形的边数．
若选B：求tan55°36′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数55°36′，按键“=”即可得到结果，四舍五入法求近似数． 【解答】解：若选A：
一个外角是180°﹣150°=30°， 360°÷30°=12．
∴这个正多边形是正十二边形． 故答案为：12； 若选B：
tan55°36′≈2.924×1.460≈4.3， 故答案为：4.3
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角以及科学计算器的使用，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．注意：不同型号的计算器使用方法不同．
13．如图，在Rt△AOB中，直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后，得到△A′O′B，且反比例函数y=的图象恰好经过斜边A′B的中点C，若SABO=4，tan∠BAO=2，则k= 6 ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义；T7：解直角三角
13
形．
【分析】先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．
【解答】解：设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D， ∵tan∠BAO=2， ∴
=2，
∵S△ABO=•AO•BO=4， ∴AO=2，BO=4， ∵△ABO≌△A'O'B， ∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，
∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′， ∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2， ∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2， ∴k=x•y=3•2=6． 故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键在于读懂题意，作出合适的辅助线，求出点C的坐标，然后根据点C的横纵坐标之积等于k值求解即可．
14．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AB、BC上，且∠EOF=90°，则S四边形OEBF：S正方形ABCD=
．
14
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】可以先求证△AEO≌△BFO，得出AE=BF，则BE=CF，那么求四边形OEBF的面积=△ABO的面积．于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB，∠EAO=∠FBO=45°
又∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90° ∴∠AOE=∠BOF， 在△AOE与△BOF中，∴△AEO≌△BFO， ∴AE=BF， ∴BE=CF， ∴S四边形OEBF=S△AOB， ∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=， 故答案为：．
，
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共78分） 15．计算：|3﹣π|+（﹣）0﹣
+（0.1）﹣2．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
15
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=π﹣3+1+3+100=101+π．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．解分式方程：
=1﹣
．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+7x+10=x﹣4﹣3x+6， 解得：x=﹣0.8，
经检验x=﹣0.8是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
2
2
【考点】N3：作图—复杂作图．
【分析】与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．
【解答】解：如图所示，则⊙P为所求作的圆．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
16
18．我国二孩政策的落实引起了全社会的关注，某校学生数学兴趣小组为了了解本校同学对父母生育二孩的态度，随机对本校部分同学进行了问卷调查，同学们对父母生育二孩所持的态度，分别为非常赞同、赞同、无所谓、不赞同等四种态度，现将调查统计结果制成了如图两幅统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）在这次问卷调查中一共随机调查了多少名学生？ （2）请补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该校有3000名学生，请你估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和．
【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图． 【分析】（1）根据“不赞同”的百分比及其人数可得；
（2）根据总人数为50人求得赞同的人数，再求出“赞同”、“非常赞同”及“无所谓”的百分比即可得；
（3）用样本中“赞同”、“非常赞同”百分比之和乘以总人数3000即可得． 【解答】解：（1）∵5÷10%=50，
∴在这次问卷调查中一共随机调查了50名学生；
（2）表示“赞同”的学生数为50﹣（10+15+5）=20， “赞同”的百分比为的百分比为
×100%=40%，“非常赞同”的百分比为
×100%=20%，“无所谓”
×100%=30%，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
17
（3）3000×（40%+20%）=1800（人），
答：估计该校学生对父母生育二孩持“赞同”和“非常赞同”两种态度的人数之和为1800人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．在△ABC中，AB=AC，过点C作CN∥AB且CN=AC，连接AN交BC于点M．求证：BM=CM．
【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质． 【分析】根据等腰三角形的三线合一即可证明． 【解答】证明：∵AB=AC，CN=AC， ∴AB=CN，∠N=∠CAN 又∵AB∥CN， ∴∠BAM=∠N， ∴∠BAM=∠CAM， ∴AM为∠BAC的平分线， 又∵AB=AC，
18
∴AM为三角形ABC的边BC上的中线， ∴BM=CM．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质以及三角形中线的知识，此题难度不大．
20．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，在同类型重载桥梁中，它的主跨度居世界第二．如图，是该桥面上的一根立柱和拉索的示意图，小明测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离BD为20米，且已知两拉索顶端的距离AC为2米，请求出立柱AH的长．（结果精确到0.1米，
≈1.732）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】首先利用未知数表示出DH，CH，AH，BH的长，再利用BH=BD+DH得出等式求出答案． 【解答】解：设DH=x， ∵∠CDH=60°，∠AHB=90°， ∴CH=DH•tan60°=∴AH=AC+CH=2+∵∠B=30°， ∴BH=
AH=2
+3x，
x，
x，
∵BH=BD+DH， ∴2
+3x=20+x，
，
）=10
﹣1≈16.3（m），
19
解得：x=10﹣∴AH=2+
（10﹣
答：立柱AH的长约为16.3m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出BH的长是解题关键．
21．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天定价为120元时，房间会全部注满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，那么宾馆需对所居住的每个房间每天支出20元的相关消耗，打扫费用，设每个房间定价增加10x元（x为正整数）．
（1）请直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每个房间每天的定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？ 【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题； （2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）根据题意，得：y=50﹣x，（0≤x≤50，且x为整数）； （2）W=（120+10x﹣20）（50﹣x） =﹣10x2+400x+5000 =﹣10（x﹣20）+9000， ∵a=﹣10＜0
∴当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
【点评】本题考查二次函数的应用、解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
22．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）； （2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
2
20
【考点】X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解（1）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：
=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及轴对称图形与中心对称图形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE． （1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．
【考点】ME：切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OC，由弦切角定理和切线的性质得出∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=BD=BE，得出∠BCE=∠CBE=∠A，证出∠ACO=∠BCE，得出∠BCE+∠BCO=90°，
21
得出CE⊥OC，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，再由三角函数得出tanA=出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵BD是⊙O的切线， ∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°， ∵E是BD中点， ∴CE=BD=BE， ∴∠BCE=∠CBE=∠A， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A， ∴∠ACO=∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO=90°， 即∠OCE=90°，CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB=90°， ∴AB=∵tanA=∴BD=AB=∴CE=BD=
=
===， ， ．
=2
，
=
=，求出BD=AB=
，即可得
【点评】本题考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、
22
勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解决问题的关键．
24．（10分）（2017•府谷县模拟）如图，已知抛物线y=ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点，点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°． （1）求该抛物线的表达式；
（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）先求出A、B两点坐标，然后过点P作PC⊥x轴于点C，根据∠PBA=120°，PB=AB，分别求出BC和PC的长度即可得出点P的坐标，最后将点P的坐标代入二次函数解析式即；
（2）根据题意可知：n＜0，然后对m的值进行分类讨论，当﹣2≤m≤0时，|m|=﹣m；当0＜m≤2时，|m|=m，列出函数关系式即可求得|m|+|n|的最大值． 【解答】解：（1）如图1，令y=0代入y=ax﹣4a， ∴0=ax﹣4a， ∵a＞0， ∴x﹣4=0， ∴x=±2，
∴A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AB=4，
过点P作PC⊥x轴于点C， ∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°， ∵PB=AB=4，
2
2
2
23
∴cos∠PBC=，
∴BC=2，
由勾股定理可求得：PC=2，
∵OC=OB+BC=4， ∴P（4，2），
把P（4，2）代入y=ax2﹣4a，
∴2=16a﹣4a， ∴a=
，
∴抛物线解析式为；y=
x2﹣
；
（2）当点M在曲线BA之间（含端点）移动时， ∴﹣2≤m≤2，n＜0， 当﹣2≤m≤0时， ∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣m2﹣m+
=﹣
（m+
）2+
，
当m=﹣
时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，
此时，M的坐标为（﹣，﹣
），
当0＜m≤2时， ∴|m|+|n|=m﹣n=﹣m2+m+
=﹣
（m﹣）2+，
当m=
时，
∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，
此时，M的坐标为（
，﹣
），
综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（，﹣﹣
）时，|m|+|n|的最大值为
．
）或（﹣，
24
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角形面积公式，二次函数最值等知识，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数的性质．
25．（12分）（2017•府谷县模拟）（1）如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，将△BCD绕点D逆时针旋转90°，则点B恰好落在点A处，得到旋转后的△AED，则AC、BC、CD满足的数量关系式是 AC+BC=
CD ．
=
，若AB=13，BC=12，求CD的
（2）如图2，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且长．
（3）如图3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）先判断出E、A、C三点共线，再用旋转的性质得出△CDE是等腰直角三角形，代换即可得出结论；
（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；
【解答】解：（1）将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处， ∴∠EAD=∠DBC，
CD1；
25
∵∠DBC+∠DAC=180°， ∴∠EAD+∠DAC=180°， ∴E、A、C三点共线， ∴∠CAE为平角，
由旋转知，AE=BC，DE=CD，∠CDE=90°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE=
CD，
∵CE=AE+AC=BC+AC， ∴AC+BC=
CD，
故答案为：AC+BC=CD；
（2）连接AC、BD、AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， ∵
=
，
∴AD=BD，
将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，∴∠EAD=∠DBC， ∵∠DBC+∠DAC=180°， ∴∠EAD+∠DAC=180°， ∴E、A、C三点共线， ∵AB=13，BC=12，
∴由勾股定理可求得：AC=5， ∵BC=AE， ∴CE=AE+AC=17， ∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC， 即∠EDC=∠ADB=90°， ∵CD=ED，
∴△EDC是等腰直角三角形，
26
∴CE=∴CD=
CD， ；
（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1， 连接D1A，D1B，D1C，如图④ 由（2）的证明过程可知：AC+BC=∴D1C=
，
D1C，
又∵D1D是⊙O的直径， ∴∠DCD1=90°， ∵AC=m，BC=n，
∴由勾股定理可求得：AB=m+n， ∴D1D2=AB2=m2+n2， ∵D1C+CD=D1D， ∴CD=m+n﹣∵m＜n， ∴CD=
；
2
2
2
2
2
2
2
2
=，
【点评】此题圆的综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的判断和性质，圆周角定
27
理，旋转的性质等知识点，解本题的关键是就利用得出的结论来进行解决问题．
28
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