三角函数基本概念-角的推广

一、知识要点梳理

知识点一：任意角的概念

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角.

负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

知识点二：弧度制 弧度制

(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 (2)弧度与角度互换公式：

，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)

(3)弧长公式：

(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：.

知识点三：任意角的三角函数 1.三角函数定义 设 (1)

是一个任意角,它的终边与单位圆交于点叫做

的正弦,记做的余弦,记做

,即,即

,那么:

； ；

(2)叫做

(3)叫做的正切,记做,即.

2.三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角P作PM垂直轴于M，作PN垂直点

(或

的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过

轴与

轴同向，与

的终边(或其反向延长线)相交于

轴于点N.以A为原点建立

)分别叫作

)，则有向线段0M、0N、AT(或的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：

既有大小又有方向的线段.

二、规律方法指导1.象限角问题

角的终边所在位置 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴

是第一象限角，所以

是第二象限角，所以 是第三象限角，所以

角的集合 是第四象限角，所以

2.角度制与弧度制

(1)可利用比例关系进行角度制与弧度制的互化；

(2)弧长公式： (

是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：

3.三角函数定义及其应用

(1)三角函数的值与点

在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、

我们只需计算点到原点的距离, 那么,,

(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

三. 经典例题透析类型一：象限角

1．已知角

；

有相同终边的角

；

(1)在区间内找出所有与角

(2)集合

，,那么两集合的关系是什么？

2． 集合A{|04},B{|kk

2}，求AB？

3．（1）已知“是第一象限角，则

2是第几象限角?

（2）已知“

举一反三：

是第二象限角，则是第几象限角?

【变式1】集合 A、

B、

，

C、

D、

，则( )

【变式2】设为第三象限角，试判断

的符号.

类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题

4．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？

举一反三：

【变式1】一个扇形的周长为的最大面积.

，当扇形的圆心角

等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形

5．已知一面积为S的扇形，求使它的周长最小时，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？

类型三：利用三角函数的定义解题

6．已知角

举一反三：

的终边过点

，求

的三个三角函数值.

【变式1】已知角

的终边上一点，且，求的值.