一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一、知识结构： 解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理二、考点精析 考点一、概念 ①②③

(1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是,这样的整式方程就是一元二次方程。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．（2)一般表达式：axbxc0(a0)

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0\"； ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 3x12x1 B

221120 x2x22C axbxc0

2

2D x2xx1

2变式：当k 时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。 例2、方程m2x针对练习： ★1、方程8x7的一次项系数是 ,常数项是 。 ★2、若方程m2xm12m3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 .

0是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。

2★★3、若方程m1xm•x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

★★★4、若方程nxm+xn—2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B。m=2，n=1 C。n=2,m=1 D。m=n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值; 典型例题： 例1、已知2yy3的值为2，则4y2y1的值为 .

例2、关于x的一元二次方程a2xxa40的一个根为0，则a的值为 。

2222例3、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根

2 1

为 。

2例4、已知a,b是方程x4xm0的两个根，b,c是方程y8y5m0的两个根，

2则m的值为 。 针对练习: ★1、已知方程xkx100的一根是2，则k为 ，另一根是 . ★2、已知关于x的方程xkx20的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程xx10的一个根,则代数式mm . ★★4、已知a是x3x10的根，则2a6a 。 ★★5、方程abxbcxca0的一个根为( )

222x13的解相同。 x12222

A 1 B 1 C bc D a

xy★★★6、若2x5y30,则4•32 . 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点:降次

2类型一、直接开方法:xmm0,xm

※※对于xam，axmbxn等形式均适用直接开方法

222典型例题： 22例1、解方程：12x80; 22516x=0; 31x90;

2

例2、若9x116x2，则x的值为 。

22针对练习：下列方程无解的是（ )

222A。x32x1 B。x20 C.2x31x D.x90

2

类型二、因式分解法:xx1xx20xx1,或xx2 ※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”，

22※方程形式：如axmbxn，xaxbxaxc ，x2axa0

22

2

典型例题： 例1、2xx35x3的根为（ ）

A x

552 B x3 C x1,x23 D x 225

2例2、若4xy34xy40，则4x+y的值为 . 变式1：a2b2a22b260,则a2b2 . 变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。 变式3：若xxyy14,yxyx28，则x+y的值为 . 例3、方程xx60的解为（ ） A.x13，x22222 B.x13，x22 C。x13，x23 D。x12，x22

2例4、解方程： x231x2340

2例5、已知2x3xy2y0,则

2xy的值为 . xyxy的值为 . xy变式：已知2x3xy2y0，且x0,y0，则针对练习： ★1、下列说法中:

22①方程xpxq0的二根为x1,x2，则xpxq(xx1)(xx2) ② x6x8(x2)(x4)。 ③a5ab6b(a2)(a3) ④ x2y2(xy)(x22222y)(xy)

2⑤方程(3x1)70可变形为(3x17)(3x17)0

正确的有（ ） A。1个 B.2个 C。3个 D.4个 ★2、以17与17为根的一元二次方程是（）

22A．x2x60 B．x2x60 C．y2y60 D．y2y60

22★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为( ） A、-1或—2 B、—1或2 C、1或—2 D、1或2

3

5、方程：x212的解是 . x222★★★6、已知6xxy6y0，且x0，y0，求

2x6y的值。

3xy2★★★7、方程1999x19982000x10的较大根为r，方程2007x2008x10的较小根为

2s,则s—r的值为 。

bb24ac类型三、配方法axbxc0a0x 22a4a22※在解方程中，多不用配方法;但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题： 例1、 试用配方法说明x2x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式xy2x4y7的最小值。

y例3、 已知xy4x6y130，x、y为实数，求x的值。

22222

例4、 分解因式：4x12x3 针对练习： ★★1、试用配方法说明10x7x4的值恒小于0. ★★2、已知x222111,则x40x 。 2xxx★★★3、若t23x212x9,则t的最大值为 ，最小值为 。 ★★★4、如果ab类型四、公式法 ⑴条件：a0,且b4ac0

c114a22b14,那么a2b3c的值为 .

2bb24ac2⑵公式： x，a0,且b4ac0

2a典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程:

2⑴31x6. ⑵x3x68. ⑶x4x10

2 4

⑷3x4x10 ⑸3x13x1x12x5

2

例2、在实数范围内分解因式：

2（1）x22x3； （2)4x8x1。 ⑶2x4xy5y

222说明：①对于二次三项式axbxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令axbxc=0，求出两根，再写成

22ax2bxc=a(xx1)(xx2)。

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去。 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题： 3x1x212例1、 已知x3x20，求代数式的值.

x1

例2、如果xx10，那么代数式x2x7的值。

232a32a25a1例3、已知a是一元二次方程x3x10的一根，求的值。

a212

例4、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次;②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

考点四、根的判别式b4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它. 典型例题： 例1、若关于x的方程x2kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

5

22例2、关于x的方程m1x2mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

2A.m0且m1 B.m0 C。m1 D.m1 例3、已知关于x的方程xk2x2k0

2（1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x(m6)xm2是一个完全平方式，试求m的值.

2x22y26,例5、m为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

mxy3. 针对练习： ★1、当k 时,关于x的二次三项式xkx9是完全平方式。

★2、当k取何值时，多项式3x4x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ ★3、已知方程mxmx20有两个不相等的实数根,则m的值是 。 ★★4、k为何值时，方程组222ykx2,y4x2y10.2

（1）有两组相等的实数解，并求此解； (2）有两组不相等的实数解； (3）没有实数解.

★ ★★5、当k取何值时，方程x4mx4x3m2m4k0的根与m均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程m1x2mx30

222⑴有两个实数根，则m为 , ⑵只有一个根，则m为 .

6

例2、 不解方程，判断关于x的方程x2xkk3根的情况.

22例3、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根，问这两方程

是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由. 考点六、应用解答题 ⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何\"问题；⑷“最值\"型问题；⑸“图表”类问题 典型例题: 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次,问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计

2211,第三年比第二年减少,该产品第一年收入资金约321400万元,公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的

3划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，133.61）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： (1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度;若不 能，请说明理由。

（3)两个正方形的面积之和最小为多少?

7

6、A、B两地间的路程为36千米。甲从A地，乙从B地同时出发相向而行,两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地,乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 ⑴前提：对于axbxc0而言，当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容：x1x22bc,x1x2 aa⑶应用：整体代入求值。

典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x8x70的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A.3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程kx2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2，

222（1）求k的取值范围;

（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为—9和—1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a2a10,b2b10,求ab 变式：若a2a10，b2b10，则

2222ab的值为 。 ba42例5、已知,是方程xx10的两个根,那么3 .

针对练习： 1、解方程组xy3,22(1)xy5(2)2

2．已知a7a4,b7b4(ab)，求

2ba的值。 ab23、已知x1,x2是方程xx90的两实数根，求x17x23x266的值。

32 8