常微分试卷-1

常微分方程试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是（ ）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。 ２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若X1(t),X2(t),,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是w[x1(t),x2(t),,xn(t)]0

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若(t)和(t)都是x'A(t)x的基解矩阵，则(t)和(t)具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％） 1、ydx(xy3)dy0 ２、xxsintcos2t

121xAx３、若A试求方程组的解(t),(0)并求142expAt ４、(

dy3dy)4xy8y20 dxdx５、求方程6.求

dyxy2经过（0，0）的第三次近似解 dxdxdyxy1,xy5的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. dtdt三、证明题（１０％）

１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。 试卷答案 一填空题

MNMNyxyx１、(y) (x)

MN２、

dyp(x)y2Q(x)yR(x) yyz dxdyn(n1)p(x)dxn３、 p(x)yQx(y) u(x,y)yedx４、w[x1(t),x2(t),,xn(t)]0

dnydn1dyaaany0 ５、x1n1nn1dxdxdxn６、(t)(t)C

７、零 稳定中心 二计算题

MN1,1x１、解：因为y，所以此方程不是恰当方程，方程有积

2ydy分因子(y)eelny21dxxy31dy0 2，两边同乘2得2yyyyxxy31y所以解为 dxdyc 2yyyxy2c即2xy(y2c)另外y=0也是解 y2２、线性方程xx0的特征方程210故特征根i

f1(t)sint i是特征单根，原方程有特解xt(AcostBsint)代入原方程A=-

1 B=0 f2(t)cos2t 2i不是特征21根，原方程有特解xAcos2tBsin2t代入原方程A B=0

311 所以原方程的解为xc1costc2sinttcostcos2t

23３、解：p()k=1n12

1i1t3ti13t1t(12) v (t)e(A3E)e22t(12)i0i!22112690解得1,23此时 4由公式expAt= e3ttti!(AE)i得 i03tn1i10113t1tt expAteEt(A3E)etet1t0111dy28yp38y2dydx４、解：方程可化为x令p则有x（*） dy4ypdx4ydx3（*）两边对y求导：2y(p34y2)dpp(8y2p3)4y2p dydppdpp0得pcy2即y()2将y即(p34y2)(2yp)0由2ydycdy1c22px2c22p4c p代入（*）x2即方程的 含参数形式的通解为：4cy(p)2c为参数

又由p34y20得p1(4y2)3代入（*）得：

y43x也是方程的解 270y00x21y0xdx02５、解： xx2x2x52y0(x)dx04220xx4x10x7x2x5x11x83y0(x)dx04400202204400160xxy10６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则

xy50dxxydt dyxydt11因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）

11由

11122112220得1i故（3，-2）1为稳定焦点。 三、 证明题

由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的

n解：

x1(t0)1,x2(t0)0,,xn(t0)0x1'(t0)0,x'2(t0)1,,xn(t0)0

x1n1(t0)0,x2n1(t0)0,,xnn1(t0)110考虑w[x011(t0),x2(t0),,xn(t0)]00从而xi(t)(i1,2,n)是线性无关的。00101