2018年北京市中考数学试卷(答案解析版)

北京市2018年中考数学试卷

1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 考2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 须4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 知 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体中，是圆柱的为

A． B． C． D．【答案】A

【解析】A选项为圆柱，B选项为圆锥，C选项为四棱柱，D选项为四棱锥． 【考点】立体图形的认识

2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

a b c43210 1234

A．|a|4 B．cb0 C．ac0 D．ac0

【答案】B

【解析】∵4a3，∴3a4，故A选项错误；

数轴上表示b的点在表示c的点的左侧，故B选项正确； ∵a0，c0，∴ac0，故Ｃ选项错误；

∵a0，c0，ac，∴ac0，故D选项错误．

【考点】实数与数轴

3．方程组xy33x8y14的解为

A．x1

B．y2x1

C．x2

D．y2y

x21y1

【答案】D

1

【解析】将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故选D． 【考点】二元一次方程组的解

4．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为7140m2，则FAST的反射面积总面积约为 A．7.14103m2 【答案】C

【解析】7140352499002.5105（m2），故选C． 【考点】科学记数法

5．若正多边形的一个外角是60，则该正多边形的内角和为

A．360 【答案】C

【解析】由题意，正多边形的边数为n3606，其内角和为n2180720． 60B．7.14104m2 C．2.5105m2 D．2.5106m2

B．540 C．720 D．900

【考点】正多边形，多边形的内外角和．

a2b2a6．如果ab23，那么代数式(的值为 b)2aabA．3 【答案】A

B．23 C．33 D．43

abaaba2b22aba【解析】原式，∵ab23，∴原式3． 2aab2aab2【考点】分式化简求值，整体代入．

7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系yax2bxc（a0）．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

2 2

A．10m 【答案】B

【解析】设对称轴为xh，

由（0，54.0）和（40，46.2）可知，h由（0，54.0）和（20，57.9）可知，h∴10h20，故选B．

【考点】抛物线的对称轴．

8．右图是老北京城一些地点的分布示意图．在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广坐标为（6，3）时，表示左安门的点的； 6）

②当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广坐标为（12，6）时，表示左安门的点的； 12）

③当表示天安门的点的坐标为（1，1），表示广坐标为（11，5）时，表示左安门的点的； 11）

④当表示天安门的点的坐标为（1.5，1.5），表示广安门的点的坐标为（16.5，7.5）时，表示左安门的点的坐标为（16.5，16.5）． 上述结论中，所有正确结论的序号是

A．①②③ 【答案】D

【解析】显然①②正确；

③是在②的基础上，将所有点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，故③正确；

3

B．15m C．20m D．22.5m

04020， 202010， 2安门的点的坐标为（5，

安门的点的坐标为（10，

安门的点的坐标为（11，

B．②③④ C．①④ D．①②③④

④是在“当表示天安门的点的坐标为（0，0），表示广安门的点的坐标为（18，9）时，表示左安门的点的坐标为（15，18）”的基础上，将所有点向右平移1.5个单位，再向上平移1.5个单位得到，故④正确．

【考点】平面直角坐标系，点坐标的确定，点的平移

4

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．右图所示的网格是正方形网格，BAC________DAE．（填“”或“”） 【答案】

【解析】如下图所示，

C A B D E“”，

△AFG是等腰直角三角形，∴FAGBAC45，∴BACDAE． 另：此题也可直接测量得到结果．

【考点】等腰直角三角形

10．若x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．

【答案】x≥0

【解析】被开方数为非负数，故x≥0． 【考点】二次根式有意义的条件．

11．用一组a，b，c的值说明命题“若ab，则acbc”是错误的，这组值可以是a_____，b______，

c_______．

【答案】答案不唯一，满足ab，c≤0即可，例如：，2，1 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【考点】不等式的基本性质

12．如图，点A，B，C，D在O上，CBCD，CAD30，ACD50，则ADB________．

【答案】70

5

【解析】∵CBCD，∴CABCAD30，∴BAD60，

∵ABDACD50，∴ADB180BADABD70．

【考点】圆周角定理，三角形内角和定理

13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB4，AD3，

则CF的长为________．

【答案】

10 3【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴ABCD4，AB∥CD，ADC90，

在Rt△ADC中，ADC90，∴ACAD2CD25， ∵E是AB中点，∴AE∵AB∥CD，∴

11ABCD， 22AFAE1210，∴CFAC． CFCD233【考点】矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定

14．从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到

乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：

公交车用时 公交车用时的频数 线路 A B C 59 50 45 151 50 265 166 122 167 124 278 23 500 500 500 30≤t≤35 35t≤40 40t≤45 45t≤50 合计 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．

【答案】C

6

【解析】样本容量相同，C线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故选C．

【考点】用频率估计概率

15．某公园划船项目收费标准如下：

船型 每船租金 （元/小时） 两人船 （限乘两人） 90 四人船 （限乘四人） 100 六人船 （限乘六人） 130 八人船 （限乘八人） 150 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为________元．

【答案】380

【解析】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为100130150380（元） 【考点】统筹规划

16．2017年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，

中国创新综合排名全球第22，创新效率排名全球第________．

【答案】

【解析】从左图可知，创新综合排名全球第22，对应创新产出排名全球第11；从右图可知，创新产出

排名全球第11，对应创新效率排名全球第3．

【考点】函数图象获取信息

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小

题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线及直线外一点P．

7

求作：PQ，使得PQ∥l． 作法：如图，

①在直线上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B； ②在直线上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q； ③作直线PQ．

所以直线PQ就是所求作的直线． 根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：∵AB_______，CB_______，

∴PQ∥l（____________）（填推理的依据）． 【解析】（1）尺规作图如下图所示：

（2）PA，CQ，三角形中位线平行于三角形的第三边．

【考点】尺规作图，三角形中位线定理

18．计算：4sin45(π2)018|1|．

【解析】解：原式42132122． 28

【考点】实数的运算

3(x1)x119．解不等式组：x9．

2x2【解析】解：由①得，x2，

由②得，x3，

∴不等式的解集为2x3．

【考点】一元一次不等式组的解法

20．关于x的一元二次方程ax2bx10．

（1）当ba2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【解析】（1）解：由题意：a0．

∵b24aa24aa240， ∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足b24a0（a0）即可，例如：

解：令a1，b2，则原方程为x22x10， 解得：x1x21．

【考点】一元二次方程

21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，ABAD，对角线AC，BD交于点O，AC平分BAD，

过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB5，BD2，求OE的长．

2

【解析】（1）证明：∵AB∥CD

∴CABACD ∵AC平分BAD ∴CABCAD

9

∴CADACD ∴ADCD 又∵ADAB ∴ABCD 又∵AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形 又∵ABAD ∴YABCD是菱形

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O．

∴ACBD．OAOC∴OB1BD1． 211AC，OBODBD， 22在Rt△AOB中，AOB90． ∴OAAB2OB22． ∵CEAB， ∴AEC90．

在Rt△AEC中，AEC90．O为AC中点． ∴OE1ACOA2． 2【考点】菱形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边中线

22．如图，AB是O的直径，过O外一点P作O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接

OP，CD．

（1）求证：OPCD；

（2）连接AD，BC，若DAB50，CBA70，OA2，求OP的长．

【解析】（1）证明：∵PC、PD与⊙O相切于C、D．

∴PCPD，OP平分CPD．

10

在等腰△PCD中，PCPD，PQ平分CPD． ∴PQCD于Q，即OPCD． （2）解：连接OC、OD．

∵OAOD

∴OADODA50

∴AOD180OADODA80 同理：BOC40

∴COD180AODBOC60． 在等腰△COD中，OCOD．OQCD 1∴DOQCOD30．

2AOBDPQC∵PD与⊙O相切于D． ∴ODDP． ∴ODP90．

在Rt△ODP中，ODP90，POD30 ∴OPODOA243．

cosPODcos30332【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数

23．在平面直角坐标系xOy中，函数yk1（x0）的图象G经过点A（4，1），直线l∶yxb与x4图象G交于点B，与y轴交于点C． （1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成

的区域（不含边界）为W．

①当b1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

【解析】（1）解：∵点A（4，1）在y

∴k1， 4k

（x0）的图象上． x

∴k4．

（2）① 3个．（1，0），（2，0），（3，0）．

1② a．当直线过（4，0）时：4b0，解得b1

4 11

15b．当直线过（5，0）时：5b0，解得b

44

17c．当直线过（1，2）时：1b2，解得b

44111d．当直线过（1，3）时：1b3，解得b

44

5711∴综上所述：≤b1或b≤．

444【考点】一次函数与反比例函数综合，区域内整点个数问题

24．如图，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交AB于点C，连接AC．已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

12

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

x/cm 0 5.62 5.62 1 4.67 5.59 2 3.76 5.53 3 5.42 4 2.65 5.19 5 3.18 4.73 6 4.37 4.11 y1/cm y2/cm （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并

画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．

【解析】（1）3.00

（2）如下图所示：

（3）3.00或4.83或5.88．

如下图所示，个函数图象的交点的横坐标即为所求．

【考点】动点产生的函数图象问题，函数探究

25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进

13

行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x50，50≤x60，60≤x70，

； 70≤x80，80≤x90，90≤x≤100）

b．A课程成绩在70≤x80这一组是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

课程 A B 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值；

平均数 75.8 72.2 中位数 m 众数 84.5 70 83 （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课

程是________（填“A”或“B”），理由是_______；

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．

【解析】（1）78.75

（2）B．该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间

位置之前．

（3）解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过75.8的人数为36人．

∴

36300180（人） 60答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过75.8的人数为180人．

【考点】频数分布直方图，中位数，用样本估计总体

26．在平面直角坐标系xOy中，直线y4x4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线yax2bx3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C． （1）求点C的坐标； （2）求抛物线的对称轴；

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）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

【解析】（1）解：∵直线y4x4与x轴、y轴交于A、B．

∴A（1，0），B（0，4） ∴C（5，4）

（2）解：抛物线yax2bx3a过A（1，0）

∴ab3a0． b2a

∴yax22ax3a ∴对称轴为x2a2a1． （3）解：①当抛物线过点C时．

25a10a3a4，解得a13． ②当抛物线过点B时．

3a4，解得a43．

③当抛物线顶点在BC上时．

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（3

此时顶点为（1，4）

∴a2a3a4，解得a1． ∴综上所述a41或a≥或a1． 33【考点】一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题

27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直

线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GFGC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

【解析】（1）证明：连接DF．

∵A，F关于DE对称． ∴ADFD．AEFE． 在△ADE和△FDE中． ADFDAEFE DEDEDCGFAEBH∴△ADE≌△FDE ∴DAEDFE．

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∵四边形ABCD是正方形 ∴AC90．ADCD ∴DFEA90

∴DFG180DFE90 ∴DFGC ∵ADDF．ADCD ∴DFCD

在Rt△DCG和Rt△DFG． DCDFDGDG ∴Rt△DCG≌Rt△DFG ∴CGFG． 2）BH2AE．

证明：在AD上取点M使得AMAE，连接ME． ∵四这形ABCD是正方形． ∴ADAB．AADC90． ∵△DAE≌△DFE DC∴ADEFDE 同理：CDGFDG ∴EDGEDFGDF GMFH12ADF12CDF AEB12ADC45 ∵DEEH ∴DEH90

∴EHD180DEHEDH45 ∴EHDEDH ∴DEEH． ∵A90

∴ADEAED90 ∵DEH90 ∴AEDBEH90 ∴ADEBEH ∵ADAB．AMAE

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（

∴DMEB

在△DME和△EBH中 DMEBMDEBEH DEEH∴△DME≌△EBH ∴MEBH

在Rt△AME中，A90，AEAM． ∴MEAE2AM22AE ∴BH2AE．

【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定

28．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．

已知点A（2，6），B（2，2），C（6，2）． （1）求d（点O，△ABC）；

（2）记函数ykx（1≤x≤1，k0）的图象为图形G，若d（G，△ABC）1，直接写出k的

取值范围；

（3）T的圆心为T（，0），半径为1．若d（T，△ABC）1，直接写出的取值范围．

【解析】（1）如下图所示：

∵B（2，2），C（6，2） ∴D（0，2）

∴d（O，△ABC）OD2 （2）1≤k0或0k≤1

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（3）t4或0≤t≤422或t422．

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【考点】点到直线的距离，圆的切线