课题16 利用二次函数解决实际问题
A组 基础题组
一、选择题
1.(2018邢台模拟)图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( )
A.y=-2x B.y=2x
22
C.y=-0.5x D.y=0.5x
2.(2017沧州模拟)治理环境污染刻不容缓,某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为100 m,则池底的最大面积是( )
2222
A.600 m B.625 m C.650 m D.675 m
3.(2018保定一模)某品牌钢笔进价8元,按10元1支出售时每天能卖出20支,市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( ) A.4元 B.12元 C.13元 D.14元
4.(2018北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足
2
函数关系y=ax+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为( )
2
2
A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
二、填空题
5.(2017唐山古冶一模)烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-2t+20t+1,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为 s.
6.(2018贺州中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元
(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,若使利润最大,则每件商品的售价应为 元.
7.(2016保定模拟)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表:
温度t/℃ -4 -2 0 1 4
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5
2
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系,由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃.
8.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各围成一个正方形,则这
2
两个正方形面积之和的最小值是 cm.
9.(2018武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-2t.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是 m.
三、解答题
10.(2018盘锦中考)鹏鹏童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销,该店决定降价销售,经市场调查反应:每降价1元,每星期可多卖10件.已知该款童装每件成本30元.设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件. (1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围);
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润是多少? (3)①当每件童装售价定为多少元时,该店一星期可获得3 910元的利润?
②若该店每星期想要获得不低于3 910元的利润,则每星期至少要销售该款童装多少件?
3
2
B组 提升题组
一、选择题
1.(2017廊坊模拟)如图,用长10 m的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的窗框(包括窗棱CD),若使此窗户的透光面积最大,则最大透光面积为( )
A.50π m
50
22
B.
50
504+π
2
m
2
C.8+π m D.16+π m
2.(2016唐山模拟)军事演习时发射一颗炮弹,经x s后炮弹的高度为y m,且时间x(s)与高
2
度y(m)之间的函数关系式为y=ax+bx(a≠0),若炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间炮弹的高度是最高的( ) A.第9秒 B.第11秒 C.第13秒 D.第15秒
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二、填空题
3.(2018沈阳中考)如图,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大.
4.(2018秦皇岛模拟)小迪同学以二次函数y=2x+8的图象为灵感设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为 .
2
三、解答题
5.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.
(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?
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6.(2018秦皇岛模拟)投资1万元围一个矩形菜园(如图),其中一边靠墙,另外三边选用不同材料建造.墙长24 m,平行于墙的边的费用为200 元/m,垂直于墙的边的费用为150 元/m,设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m,直接写出y与x之间的函数关系式;
2
(2)若菜园面积为384 m,求x的值; (3)求菜园的最大面积.
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答案精解精析
A组 基础题组
一、选择题
22
1.C 根据题意,设抛物线解析式为y=ax,且抛物线过(2,-2)点,故-2=a×2,解得a=-0.5,∴
2
抛物线解析式为y=-0.5x.故选C. 2.B
22
3.D 设利润为w,由题意得,每天利润为w=(2+x)(20-2x)=-2x+16x+40=-2(x-4)+72.∴当涨价4元(即售价为14元)时,每天利润最大,最大利润为72元.故选D.
2
4.B 根据题意知,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0),(40,46.2),(20,57.9), 𝑐=54.0,
则 1600𝑎+40𝑏+𝑐=46.2, 400𝑎+20𝑏+𝑐=57.9,𝑎=-0.0195,
解得 𝑏=0.585,
𝑐=54.0,∴x=-=-2𝑎𝑏
0.5852×(-0.0195)
=15(m).故选B.
二、填空题 5.答案 4
解析 ∵h=-t+20t+1=-(t-4)+41,∴当t=4秒时,礼炮达到最高点引爆.
2
2
5
2
5
2
6.答案 25
2
解析 设利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是25. 7.答案 -1
解析 由函数的对应值(-2,49),(0,49)可知抛物线的对称轴为直线t=-1,故最适合这种植物生长的温度为-1 ℃. 8.答案 12.5
2
解析 设铁丝的长度为x cm,则另一段长度为(20-x)cm,设两个正方形面积之和为S cm,则S= 4x +
1
2
20-𝑥4
=16x+16(20-x)=8(x-10)+12.5,∴当x=10时,S最小,S最小值=12.5.
2
1
2
1
2
1
2
9.答案 216
解析 根据抛物线的对称性可知,飞机在开始4秒和最后4秒的滑行的距离相等. 当t=4时,飞机滑行的距离为y=60×4-2×4=240-24=216 (m),故答案为216.
三、解答题
10.解析 (1)y=100+10(60-x)=-10x+700. (2)设每星期利润为W元,
2
则W=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)+4 000. ∴x=50时,W最大值=4 000.
∴每件售价定为50元时,每星期的销售利润最大,最大利润4 000元.
2
(3)①由题意:-10(x-50)+4 000=3 910
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3
2
解得:x=53或47,
∴当每件童装售价定为53元或47元时,该店一星期可获得3 910元的利润.
2
②由题意,得-10(x-50)+4 000≥3 910, 解得47≤x≤53.
∵y=100+10(60-x)=-10x+700. 170≤y≤230,
∴每星期至少要销售该款童装170件.
B组 提升题组
一、选择题
1.C 设半圆的半径为x m,则CD=2x m, AD=
10-(4+π)𝑥
2
.
1
2
2
2
2
∴半圆面积为2πx m,矩形面积为AB·BC=[-(4+π)x+10x]m, ∴可设总透光面积为y m, 则y=x+10x-(4+π)x
2π
2
2
2
=- 4+2 x+10x, ∴最大值为
-102
π4× - 4+ 2
π
2
=8+π, 2
50
∴最大透光面积为8+π m.
2.B ∵x取8和14时y的值相等,∴抛物线y=ax+bx(a≠0)的对称轴为直线x=8+
2
50
14-82
=11,易知此抛物线开口向下,顶点为其最高点,故炮弹达到最大高度时的时间是第11秒.
二、填空题 3.答案 150
解
析
1
(1)设
3
AB=x
2
m,
3
则BC=
2
12
(900-3x),由题意可得
S=AB·BC=x·2(900-3x)=-2(x-300x)=-2(x-150)+33 750,∴当x=150时,S取得最大值,此时S=33 750,∴AB=150 m. 4.答案 11
解析 由题意可得:D点坐标为(0,8).
∵AB=4,∴B点的横坐标为2,故x=2时,y=2×4+8=16,即B(2,16). ∴CD=16-8=8,CE=CD+DE=3+8=11.
三、解答题
5.解析 (1)由题意知,若观光车能全部租出,则0 ∵x是5的倍数, ∴每辆车的日租金至少应为25元. 第 6 页 共 6 页 (2)设每天的净收入为y元, 当0 x-1 100=-x+70x-1 100=-(x-175)+5 025. 5 5 1 2 1 2 当x=175时,y2的值最大,最大值为5 025. ∵5 025>3 900, ∴当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多. 6.解析 (1)根据题意,得,y= 10000-200𝑥2×150 =-3x+ 21003 . 𝑥>02100 ∵墙的长度为24 m,∴ -3x+3>0,解得0 2 1003 2 1003 ,x的取值范围为0 解得:x=18或x=32(不合题意,舍去). ∴x的值为18. (3)设菜园的面积是S,则 S= -3x+ 23 2 1003 2 x=-3x+ 3 2 2 1003 x =-(x-25)+∵-<0, 32 1250 , ∴当x<25时,S随x的增大而增大, ∵0 32 2 12503 =416. 2 答:菜园的最大面积为416 m. 第 7 页 共 7 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容