重庆市垫江中学校2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 若{an}为等差数列，Sn为其前项和，若a10，d0，S4S8，则Sn0成立的最大自 然数为（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14

y22． 过抛物线y2px(p0)焦点F的直线与双曲线x-=1的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、 8B两点，若AF>BF，且|AF|3，则抛物线方程为（ ）

22A．yx B．y2x C．y4x D．y3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．

ππφ

3． 函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）的部分图象如图所示，则的值为（ ）

22ω

22221

A. 81C. 2

1B．

4D．1

4． 满足下列条件的函数f(x)中，f(x)为偶函数的是（ ）

xx2x2A.f(e)|x| B.f(e)e C.f(lnx)lnx D.f(lnx)x1 x【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力. 5． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33第 1 页，共 17 页

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

6． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.3 2B.1 C. 2 D. 3

【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. A．64 B．72 C．80 D．112

7． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

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【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 8． 已知是虚数单位，a,bR，则“ab1”是“(abi)2i”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2xn(1)sin2n,x2n,2n129． 已知函数f(x)（nN），若数列am满足(1)n1sinx2n2,x2n1,2n22amf(m)(mN*)，数列am的前m项和为Sm，则S105S96（ ） A.909 B.910 C.911 D.912

【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 10．已知集合A{1i,(1i2311),i,i}（其中为虚数单位），B{xx21}，则AB（ ） 1i2222} D．{} 22A．{1} B．{1} C．{1,12i(i是虚数单位）的虚部为（ ） iA．-1 B．i C．2i D．2

11．复数z【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 12．设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）

A1 B﹣1 Ci D﹣i

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

113．已知两个单位向量a,b满足：ab，向量2ab与的夹角为，则cos . 214．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 15．已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|（ ） A．2 B．3 C．2 D．5 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

16．在ABC中，有等式：①asinAbsinB；②asinBbsinA；③acosBbcosA；④

2abc.其中恒成立的等式序号为_________. sinAsinBsinC三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（ ） A BCD

18．（本小题满分12分）

ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，m(sinB,5sinA5sinC)，

n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直.

（1）求sinA的值；

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（2）若a22，求ABC的面积S的最大值.

x2y2

19．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

20．（本题满分13分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x2y60相切，设点A为圆上 一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线l2：ykxm与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(1,0)，F2(1,0)两点分别作F1Pl2，

131OA()OM，设动点N的轨迹为曲线C. 232F1Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P

到点Q的距离，试探索(d1d2)d3是否存在最值？若存在，请求出最值.

x2y221．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，且|F1F2|2，点

ab第 5 页，共 17 页

6)在该椭圆上． 2（1）求椭圆C的方程； (2,（2）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆上相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F． （1）求证：BDCE；

（2）若AB是圆的直径，AB4，DE1，求AD长

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重庆市垫江中学校2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】A 【解析】

考

点：得出数列的性质及前项和．

【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用，其中解答中涉及到等差数列的性质，等差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档题，本题的解答中，由“a10，d0”判断前项和的符号问题是解答的关键．

2． 【答案】C

ìy0=22ïïx-pï02ïïppï【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=22x，设A(x0,y0)，则x0>，所以íx0+=3，

22ïï2ïy0=2px0ïïïîpp解得p=2或p=4，因为3->，故0【解析】解析：选B.由图象知函数的周期T＝2， 2π

∴ω＝＝π，

2

1

即f（x）＝sin（πx＋φ），由f（－）＝0得

4ππ－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋. 44πππ又－≤φ≤，∴当k＝0时，φ＝，

224

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φ1

则＝，故选B. ω44． 【答案】D. 【

解

析

】

5． 【答案】B

6． 【答案】D

112552.由22k（k），得2k)，∴T1212126555)，则f(0)2cos()3，故选D. （kZ），可得，所以f(x)2cos(2x666【解析】易知周期T2(7． 【答案】C. 【

解

析

】

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8． 【答案】A 【解析】

考

点：1、充分条件与必要条件；2、复数的运算.

【方法点睛】本题主要考查复数的运算及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试pq,qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 9． 【答案】A.

【

解

析

】

10．【答案】D 【解析】

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考点：1.复数的相关概念；2.集合的运算 11．【答案】A 【解析】z

12i12i(i)2i，所以虚部为-1，故选A. ii(i)12．【答案】B

【解析】解：由z（1+i）=2，得∴复数z的虚部是﹣1． 故选：B．

，

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算.

解题思路

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

易错点

把﹣i作为虚部.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】【解析】

27． 7

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考点：向量的夹角．

【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）

求平面向量的数量积有三种方法：一是定义ababcos；二是坐标运算公式abx1x2y1y2；

三是利用数量积的几何意义．

（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简 14．【答案】

2 322【解析】由(ab)(3ab)4得，3a2ab|b|24，即342ab24，得ab2. ∴cosa,bab|a||b|212. ，∴a,b3222解

析

】

15．【答案】A 【

16．【答案】②④ 【解析】

试题分析：对于①中，由正弦定理可知asinAbsinB，推出AB或AB2形或直角三角形，所以不正确；对于②中，asinBbsinA，即sinAsinBsinBsinA恒成立，所以是正确的；对于③中，acosBbcosA，可得sin(BA)0，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由

abc正弦定理以及合分比定理可知是正确，故选选②④．1 sinAsinBsinC考点：正弦定理；三角恒等变换．

，所以三角形为等腰三角

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】C

【解析】

18．【答案】（1）【解析】

4；（2）4． 5试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sinA,sinB,sinC的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cosA，由同角关系得sinA；（2）由于已知

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边及角A，因此在（1）中等式bca2226bc1中由基本不等式可求得bc10，从而由公式 SbcsinA52可得面积的最大值．

试题解析：（1）∵m(sinB,5sinA5sinC)，n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直， ∴mn5sinB6sinBsinC5sinC5sinA0，

222考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111] 19．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m），

c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

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11

·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k即M（∴|MN|＝ ＝421＋2k

2

b2ab2a

，2k1＋2k

2

），N（－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

2·21＋2kk＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|

＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

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此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 即当k＝－

22时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x. 22

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.

（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：ykxm代入 椭圆C的方程3x4y12中，得

22

(4k23)x28kmx4m2120

由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，

64k2m24(4k23)(4m212)0，

整理得m4k3 …………7分

22且d1|mk|1k2，d2|mk|1k2

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1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan||d1d2|，即d3|dd2dd24|m|||1|∴(d1d2)d3(d1d2)|1 2kk1k4|m|16 …………10分 21m31|m||m|4∵m4k3 ∴当k0时，|m|2222d1d2| k3

∴|m|1143，∴(d1d2)d343……11分 3|m|332当k0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时d1d23，d32

∴(d1d2)d323243 …………12分

综上1、2可知，(d1d2)d3存在最大值，最大值为43 ……13分

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．

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22．【答案】

【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．

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DEDCBC2，则BCABDE4，∴BC2． 

BCBAAB

1∴在RtABC中，BCAB，∴BAC30，∴BAD60，

21∴在RtABD中，ABD30，所以ADAB2．

2∴

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