2011年高考理科数学全国卷(及答案)

数学试题卷

本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数z1i，z为z的共轭复数，则zzz1

(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

y2xx02. 函数的反函数为

x2x2yxRyx044(A) (B)

(C)

y4x2xR (D)

y4x2x0

3.下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是

2233(A) ab1 (B) ab1 (C)ab (D) ab

a4.设Sn为等差数列n的前n项和，若a11，公差d2,Sk2Sk24，则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数fxcosx0，将yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像

与原图像重合，则的最小值等于

1(A) 3 (B) 3 (C) 6 (D) 9

6.已知直二面角l，点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足，若

AB2,ACBD1，则D到平面ABC的距离等于

236(A) 2 (B) 3 (C) 3 (D) 1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种

2xye1在点0,2处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为 8.曲线

112(A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 1

5ffx9.设是周期为2的奇函数，当0x1时，fx2x1x，则2

(A)

11112 (B) 4 (C) 4 (D) 2

2y10.已知抛物线C：4x的焦点为F，直线y2x4与C交于A、B两点，则cosAFB

4334(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5

11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成60二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为4，则圆N的面积为

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13

1ab1,ab,ac,bc60c212. 设向量a,b,c满足，则的最大值等于

(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13.

1x20的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为 .

914. 已知

,sin52，5，则tan2 .

x2y2C:12,0F1、F292715. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点AC，点M的坐标为，

AM为F1AF2的角平分线，则 AF2 . 16. 已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1 的棱BB1、CC1上，且B1E2EB, CF2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c。已知AC90,ac2b，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

1111an11an

a设数列n满足

a10,a（Ⅰ）求n的通项公式；

（Ⅱ）设

bn1an1n，记

Snbkk1n，证明：Sn1。

21.（本小题满分12分）

y2C:x12已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为22的直线l与C交于A、B两点，点P满足OAOBOP0.

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

2xx2，证明：当x0时，fx0

（Ⅰ）设函数

fxln1x（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连

19p2e 10续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：

19答案非官方，不对其正确性作绝对的保证

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数学（理工农医类）试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1． B 2． B 3． A 4． D 5．C

6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

13． 0 14．

243 15． 6 16．3

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（本小题满分10分）

2解：由AC90，得

BAC2C

sinAsinCcosCsinBsin2Ccos2C22故，

由ac2bsinAsinC2sinB，

cosCsinC2cos2Csin2CcosCsinC2cos2C故，

又显然

C2，故

cosCsinC22，再由cos2Csin2C1，

解得：

cosC62C412 ，于是18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为x,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3

故10.5x0.3x0.6，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 110.510.60.8

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为10.80.2

所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为

pCXX1000.2X0.8100

显然，X服从二项分布，即XB100,0.2,

所以EX1000.220

X的期望为20

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AB//CD,BCCD易算得：ADBD5，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以SD2SA25AD2,SD2SB25BD2

于是SDSA,SDSB,

，

所以SD平面SAB

（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，

因为SD平面SAB，所以SDAB,从而SDCD,

因而可以算得：SC2，又SBBC2，故

SSBC72

又因为CD//平面SAB,所以点C到平面SAB的距离为SD1

另外，显然

SSBA32234，

171V四棱锥ASBCdV四棱锥CSAB31323所以

得：

d2217

设AB与平面SBC所成的角为，则

22121sin727，

即AB与平面SBC所成的角为

arcsin217（显然是锐角）

20.（本小题满分12分）

111解：（Ⅰ）由1an11an得：

1111an数列是等差数列，首项为1a1

111n11nan1n 故1an，从而

（Ⅱ）

bn1an1n111n1n1n11nnn1nn1 所以

Snbk1k1n11122311111nn1n1

21.（本小题满分12分）

F0,1（Ⅰ）证明：易知：2l:y2x14x22x10， ，故：，代入椭圆方程得：

设Ax1,y1,Bx2,y2,Px,y，则

x1x222，y1y22x1x221，

因为OAOBOP0.所以x1,y1x2,y2x,y0,0

2122x,yx1x2,y1y22212,1，将此坐标代入椭圆：，

2所以点P在C上。

26312613A,,B,24242l:y2x1，4x22x10（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得22p,1Q22,1 因为，所以

k622kBP226kBQ622于是可以算得：kAP226，AQ，，

tanPBQ42,tanAPB226tanAQB6tanPAQ4233, 于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）

2x22x1x2fx0221xx2x1x2证明：（Ⅰ）x0时，，

于是fx在0,上单调增，所以fxf00

1009982819998812010010019

（Ⅱ）

p9981(9881)100199189901919 （共有2对数相乘）

9029029029090199x0100191001910

x219由（Ⅰ），1x0时，也有

fxx1x220，

1ff00故fx在1,0上单调增，所以10

11992fln5ln0101019101910即

199219ln2e10e2 e即，两边同时取的对数得：101919p2e 10综上所述：

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