广东省佛山市第一中学平面向量及其应用单元测试题含答案

一、多选题

1．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知

cosBb，cosC2acS△ABC33，且b3，则（ ） 4A．cosB1 2B．cosB3 2C．ac3 D．ac32 2．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S.下列

ABC有关的结论，正确的是（ ） A．cosAcosB0

B．若ab，则cos2Acos2B

C．S4R2sinAsinBsinC，其中R为ABC外接圆的半径 D．若ABC为非直角三角形，则tanAtanBtanCtanAtanBtanC

3．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2PAPC0，

QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A．PB//CQ C．PAPC0

4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A．若a0，ab0，则b0

B．向量a、b为不共线的非零向量，则(ab)ab C．若非零向量a、b满足ab2B．BP21BABC 33D．S2

22ab，则a与b垂直

22D．若向量a、b是两个互相垂直的单位向量，则向量ab与ab的夹角是

 2PP5．已知在平面直角坐标系中，点P10,1，P24,4.当P是线段12的一个三等分点

时，点P的坐标为（ ） A．4,2 3B．4,3 3C．2,3

D．,3

836．在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A是( ) A．

 66,a2,c23,则角C的大小

B．

 3C．

5 6D．

2 37．已知向量a(2，1)，b(1，﹣1)，c(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且(ab)∥c，下列说法正确的是（ ）

A．a与b的夹角为钝角 B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4 D．mn的最大值为2

8．在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）

A．b10,A45,C70 C．a14,b16,A45 （ ） A．8+33 C．8﹣33 B．83161D．83161 B．b45,c48,B60 D．a7,b5,A80

5 59．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为

10．设向量a，b满足ab1，且b2a5，则以下结论正确的是（ ） A．ab

B．ab2

C．ab2 D．a,b60

11．设a为非零向量，下列有关向量

a的描述正确的是（ ） |a|C．

A．|a|a||1

B．

a|a|//a

a|a|a

D．

a|a|a|a|

12．设a、b、c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A．0a0 C．ab0ab

B．abcabc D．ababab

2213．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A．ABBA0 B．ABBCAC C．ABACBC D．0AB0

14．已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足BA．2

B．3

C．

3,ac3b,则

D．

a( ) c1 21 315．化简以下各式,结果为0的有( ) A．ABBCCA C．OAODAD

B．ABACBDCD D．NQQPMNMP

二、平面向量及其应用选择题

16．已知a1，b3，且向量a与b的夹角为60，则2ab（ ）

A．7 B．3

C．11 D．19 17．下列命题中正确的是（ ） A．若ab，则a在b上的投影为a B．若acbc(c0)，则ab

C．若A,B,C,D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件 D．若ab0，则a与b的夹角为锐角；若ab0，则a与b的夹角为钝角 18．若O为ABC所在平面内任意一点，且满足BCOBOC2OA0，则

ABC一定为（ ）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．钝角三角形

19．在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ） ．．．A．BGC．DG2BE 31AG 2B．CG2GF D．GAGBGC0

20．在ABC中，若CACBCACB0，则ABC为（ ） A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．无法确定

21．在△ABC中，M是BC的中点．若AB＝a，BC＝b，则AM＝( ) A．

1(ab) 2B．

1(ab) 2C．

1ab 2D．a1b 222．在ABC中|ABAC||ABAC|,AB3,AC4,则BC在CA方向上的投影为（ ）． A．4

B．3

C．-4

D．5

23．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米

24．在ABC中，已知AB2，AC4，若点G、W分别为ABC的重心和外心，则

AGAWBC（ ）

A．4

B．6

C．10

D．14

25．在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若sin2Asin2Bsin2C0，

a2c2b2ac0，c2，则a（ ）

A．3 B．1

C．

1 2D．3 226．已知平面向量a，b，c满足ab2， 2cacb0，则bc的最大值为（ ） A．

5 4B．2 C．

17 4D．4

27．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知ab= A．2 （ ）

B．3

C．2

5，c2，cosA2，则3D．3

28．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则DF

A．C．

13ABAD 24B．D．

12ABAD 2313ABAD 2411ABAD 3229．如图所示，在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得BMABAC，则（ ）

A．1

B．1 2C．2

D．3 230．在梯形ABCD中，AD//BC，ABC90，ABBC2，AD1，则

BDAC（ ）

A．2

B．3

C．2

D．5

31．三角形ABC的三边分别是a,b,c，若c4，C3，且

sinCsin(BA)2sin2A，则有如下四个结论：

①a2b ②ABC的面积为83 3③ABC的周长为443 ④ABC外接圆半径R43 3C．3个

D．4个

这四个结论中一定成立的个数是（ ） A．1个

B．2个

32．在ABC中，AB8，AC6，A60，M为ABC的外心，若

AMABAC，、R，则43（ ）

A．

3 4B．

5 3C．

7 3D．

8 333．在ABC中，AC2,AB2,BAC120,AEAB,AFAC，M为线段EF的中点，若AM1，则的最大值为（ ） A．7 3B．

27 3C．2

D．21 334．已知ABC的内角A、B、C满足sin2AsinABCsinCAB1，2面积S满足1S2，记a、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A．bcbc8 C．6abc12

B．abab162 D．12abc24

35．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A．

33 23B．

53 23C．

73 23D．

83 23

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一、多选题 1．AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵， 整理可得：， 可得，

∵A为三角形内角，， ∴，故A正确 解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cosBb，结合sinA0，可求cosC2accosB1，结合范围B0,，可求B，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

32可得ac32. 【详解】 ∵

cosBbsinB， cosC2ac2sinAsinC整理可得：sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，

可得sinBcosCsinCcosBsinBCsinA2sinAcosB， ∵A为三角形内角，sinA0， ∴cosB1，故A正确，B错误， 2∵B0,， ∴B3，

∵S△ABC33，且b3， 4∴331133acsinBacac， 4222422解得ac3，

由余弦定理得9a2c2acac3acac9， 解得ac32，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．ABD 【分析】

对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【

解析：ABD 【分析】

对于A，利用AB及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由ab，可得

1sinAsinB，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用SabsinC和正弦定

2理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】

对于A，∵AB，∴0AB，根据余弦函数单调性，可得

cosAcosBcosB，∴cosAcosB0，故A正确；

对于B，若absinAsinB，则sin2Asin2B，则12sin2A12sin2B，即

cos2Acos2B，故B正确；

112对于C，SabsinC2RsinA2RsinBsinC2RsinAsinBsinC，故C错

22误；

tanBtanC对于D，在ABC为非直角三角形，tanAtanBC，则

1tanBtanCtanAtanBtanCtanAtanBtanC，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

3．BCD

【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确. 【详解】 解：因为，，

所以B是的中点，P是的

解析：BCD 【分析】

本题先确定B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确； 再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出S△APQ2，故选项D正确. 【详解】

解：因为2PAPC0，QA2QB，

所以B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

因为BPBAAPBA121BCBABABC，故选项B正确； 333因为

S△APQS△ABC112ABh32，所以，S2△APQ2，故选项D正确. 13ABh2故选：BCD 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

4．CD 【分析】

对于A由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B由条件推出，判断该命题是假命题；对于C由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解

解析：CD

【分析】

对于A由条件推出b0或ab，判断该命题是假命题；对于B由条件推出

ab2ab，判断该命题是假命题；对于C由条件判断a与b垂直，判断该命题

22是真命题；对于D由条件推出向量ab与ab的夹角是【详解】

，所以该命题是真命题. 2对于A，若a0，ab0，则b0或ab，所以该命题是假命题； 对于B，ababcos22abcos，而ab222222ab，

2222由于a、b为不共线的非零向量，所以cos所以该命题是假命题；

对于C，若非零向量a、b满足ab221，所以abab，

22ab，a2b22aba2b2，所以

ab0，则a与b垂直，所以该命题是真命题；

对于D，以a与b为邻边作平行四边形是正方形，则ab和ab所在的对角线互相垂直，所以向量ab与ab的夹角是故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

，所以该命题是真命题. 25．AD 【分析】

设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，

当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以，

当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：

解析：AD

【分析】

x,y1,PP24x,4y，然后分点P靠近点P1，靠近点P2两设Px,y，则PP1种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】

x,y1,PP24x,4y， 设Px,y，则PP1当点P靠近点P11时，PP1PP2， 21x4x2则，

1y14y24x解得3，

y24P所以,2， 3当点P靠近点P2时，PP， 12PP2x24x则，

y124y8x解得3，

y3所以P,3， 故选：AD 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

836．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或.

故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】 由正弦定理可得得答案. 【详解】 由正弦定理可得

acc3,所以sinCsinA,而ac,可得AC,即可求sinAsinCa2ac, sinAsinC sinCcsinA3,而ac,

a2 AC, 

5C, 66故C3故选:BD. 【点睛】

或

2. 3本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

7．CD 【分析】

对于A，利用平面向量的数量积运算判断；

对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A，向量(

解析：CD 【分析】

对于A，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用(ab)∥c判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】

对于A，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab2110，则a,b的夹角为锐角，错误；

对于B，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则向量a在b方向上的投影为误；

abb2，错2对于C，向量a(2，1)，b(1，﹣1)，则ab (1，2)，若(ab)∥c，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn11 (2m•n) 222mn2

)=2，即mn的最大值为2，正确； 2故选：CD. 【点睛】

(

本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

8．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A中：由A45,C70，所以B180AC65，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B中：因为sinCcsinB831，且cb，所以角C有两解； b15bsinA421，且ba，所以角B有两解； a7bsinA1，且ba，所以角B仅有一解. a对于选项C中：因为sinB对于选项D中：因为sinB故选：BC. 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9．AC

【分析】

利用余弦定理：即可求解.

【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：b2a2c22accosB即可求解. 【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：b2a2c22accosB， 即a216a310，解得a833. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

10．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A正确； ，可得，故B错误； ，可得，故C正确； 由可得，故D错误; 故选：AC 【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

ab1，且b2a5,平方得b24a24ab5，即ab0，可得ab，故A

正确；

abab2ab2ab2，可得ab2，故B错误； ab2ab2，可得ab2，故C正确；

22222由ab0可得a,b90，故D错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

11．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】 首先理解【详解】

a表示与向量a同方向的单位向量，然后分别判断选项. aaaa//a正确，所以AB正确，当1表示与向量a同方向的单位向量，所以正确，aaaaa不是单位向量时，a不正确，

aaaaaacos0aa，所以D正确. aaa故选：ABD 【点睛】

aa本题重点考查向量的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解

aa表示与向量a同方向的单位向量.

12．AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B选项错误； 对于C选项，

解析：AB 【分析】

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】

对于A选项，0a0，A选项错误；

对于B选项，abc表示与c共线的向量，abc表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B选项错误；

对于C选项，ab0ab，C选项正确；

对于D选项，abababab，D选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

222213．AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；

，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为ABBAABAB0，正确；

ABBCAC，由向量加法知正确；

ABACBC，不满足加法运算法则，错误；

0ABAB,，所以0AB0错误.

故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

14．AC 【分析】

将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵， ∴①，

由余弦定理可得，②， 联立①②，可得， 即， 解得或. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦定理的应

解析：AC 【分析】

将ac3b两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果. 【详解】 ∵B3,ac3b，

2222∴(ac)ac2ac3b①， 由余弦定理可得，ac2accos223b2②，

联立①②，可得2a25ac2c20，

aa即2520， cc2a1a2或. cc2故选：AC. 【点睛】

解得

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.

15．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ;

; ; .

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

ABBCCAACCA0;

ABACBDCD(ABBD)(ACCD)ADAD0; OAODAD(OAAD)ODODOD0; NQQPMNMPNPPMMNNMNM0.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】

因为a1，b3，a与b的夹角为60，

所以2ab4a4abb4697，则2ab7. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 17．C 【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为ab，所以a,b的夹角为0或者，则a在b上的投影为|a|cos|a|，故A不正确；设c(1,0),b(0,0),a(0,2)，则有acbc(c0)，但ab，故B不正确；

222ABDC,|AB||DC|且AB//DC，又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形

ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且

|AB||DC|，所以ABDC，故C正确；ab0时，a,b的夹角可能为0，故D不正

确. 故选：C 【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．C 【分析】

由向量的线性运算可知OBOC2OAABAC，所以BCABAC0，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BCAD，进而可得ABAC，即可得出答案. 【详解】

由题意，OBOC2OAOBOAOCOAABAC， 所以BCABAC0，

取BC的中点D，连结AD，并延长AD到E，使得ADDE，连结BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形，所以ABACAE. 所以BCAE0，即BCAD， 故ABAC，ABC是等腰三角形. 故选：C.



【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

19．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】

ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，可得G

21为重心，则BGBE，CG2GF，DGGA且GAGBGC0

32故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 20．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CACB )(CACB)CACBb2a20，从而可得答案． 【详解】 解：

在ABC中，(CACB )(CACB)CACBb2a20，

2222ab，

ABC为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 21．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC中，M是BC的中点， 又ABa,BCb， 所以AMABBMAB故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 22．C 【分析】

先对等式ABACABAC两边平方得出ABAC，并计算出BCCA，然后利用投影的定义求出BC在CA方向上的投影． 【详解】

11BCab， 22对等式ABACABAC两边平方得，

ABAC2ABACABAC2ABAC，整理得，ABAC0，则ABAC，

BCCAACABCAACCAABCAAC16，

设向量BC与CA的夹角为，

所以，BC在CA方向上的投影为BCcosBC故选C． 【点睛】

本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 23．D 【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC． 【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

22222BCCABCCABCCACA164， 4

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15， 在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15， 在RtBSD中，

BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米， BCBDCD1000米，

故选：D． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】

取BC的中点D，因为G、W分别为ABC的重心和外心，则DWBC0，

再用AB、AC表示AW，AG，BC再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】

解：如图，取BC的中点D，因为G、W分别为ABC的重心和外心 DWBC0

AG2211ADABACABAC 3323AWADDWAWAG1ABACDW 2115ABACABACDWABACDW 32655AGAWBCABACDWBCABACBCDWBC

665ABACBC 65ABACACAB 62255ACAB422210 66故选：C

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．B 【分析】

先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a. 【详解】

因为sin2Asin2Bsin2C0，所以a2b2c20, C为直角，

a2c2b21因为acbac0，所以cosB,B,

2ac23222因此accos31选B.

【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 26．C 【分析】

不妨设b(2,0)，a(2cos,2sin)，[0,2]，c(x,y)，则求cb的最大值，即求x的最大值，然后将问题转化为关于y的方程

y2ysinx2x(cos2)2cos0有解的问题，最后求出x的最值即可. 【详解】

根据题意，不妨设b(2,0)，a(2cos,2sin)，[0,2]，c(x,y)， 则bc2x，所以求bc的最大值，即求x的最大值， 由 2cacb0可得2cac2bcab0，

2即y2ysinx2x(cos2)2cos0，

因为关于y的方程有解，所以sin4x4x(cos2)8cos0，

2222令tcos(1t1)，则4x4x(t2)t8t10，

所以t254tt254t， x22t254t(m2)217令54tm(1m3)，则， 28t254t(m2)21717当m2时，，

288所以x1717，所以bc， 84所以bc的最大值为故选：C. 【点睛】

17， 4思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下： （1）先根据题意，设出向量的坐标； （2）根据向量数量积的运算律，将其展开； （3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；

（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题. 27．D 【详解】 由余弦定理得

，

解得【考点】 余弦定理

（舍去），故选D.

【名师点睛】

本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 28．D 【分析】

利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：

DFAFAD，AF=案. 【详解】

11AE，AE=ABBE，BE=BC，BC=AD，即可得出答22利用向量的三角形法则，可得DFAFAD，AE=ABBE，

E为BC的中点，F为AE的中点，则AF=DFAFAD=又

11AE，BE=BC 221111AEAD=(ABBE)AD=AB+BCAD 2224BC=AD

13ABAD. 24DF故选D.

【点睛】

本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：

一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；

二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 29．B 【分析】

由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】

如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在tR，使得BDtBCtACAB， 因为M是线段AD的中点，所以：

BM1111BABDABtACtABt1ABtAC， 2222又BMABAC，所以所以故选：B.

11t1，t， 221. 2

【点睛】

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 30．A 【解析】

分析：根据向量加法、减法法则将BDAC转化为(ADAB)(ABBC)即可求解. 详解：由题可得：

BDAC(ADAB)(ABBC)=

2211(BCAB)(ABBC)BCAB242,故选A. 22点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息(ADAB)(ABBC)是解题关键. 31．C 【分析】

由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简A2或

sinB2sinA，即b2a；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论． 【详解】 c4，C④正确；

3，可得

2Rc48343，可得外接圆半径，ABCRsinCsin333sinCsinBA2sin2A，即为sinABsinBA2sin2A，

即有sinAcosBcosAsinBsinBcosAcosBsinA2sinBcosA4sinAcosA， 则cosA0，即A若A2或sinB2sinA，即b2a；

2，C3，B6，可得a2b，①可能成立；

由c4可得a则②③成立；

8343183，b，则三角形的周长为443；面积为bc； 3323若b2a，由c2a2b22abcosCa2b2ab3a216， 可得a4383，b， 33则三角形的周长为abc443；面积为S11438383； absinCsin223333则②③成立①不成立；

综上可得②③④一定成立,故选C． 【点睛】

本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 32．C 【分析】

2211AB，同理得出AMACAC，由此得出关于实22数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43的值.

作出图形，先推导出AMAB【详解】

如下图所示，取线段AB的中点E，连接ME，则AMAEEM且EMAB，

21AB， 2AMABAEEMABAEABEMAB21同理可得AMACAC，

2

ABAC86cos6024，

21AMABABABACAB326424322由，可得，即，

21243618ABACAC18AMACAC25，12故选：C. 【点睛】

解得25273. ，因此，43491293本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 33．C 【分析】 化简得到AM值. 【详解】

2AB2AC，根据AM1得到221，得到的最大

AM1AEAFABAC， 222故AMABAC224cos120221

22222故13222232，故2. 4当1时等号成立. 故选：C. 【点睛】

本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 34．A 【分析】

由条件sin2AsinABCsinCAB11化简得出sinAsinBsinC，设28ABC的外接圆半径为R，根据1S2求得R的范围，然后利用不等式的性质判断即可.

【详解】

1ABC的内角A、B、C满足sin2AsinABCsinCAB，

21即sin2AsinABCsinABC，

21ABCsinABC即sin2Asin， 21即2sinAcosA2sinAcosBC，

21即2sinAcosBC2sinAcosBC，

21cosBCcosBC4sinAsinBsinC即2sinA，21sinAsinBsinC，

8abc2R， 设ABC的外接圆半径为R，则

sinAsinBsinC111SabsinC2RsinA2RsinBsinCR21,2，2R22，

224abc8R3sinAsinBsinCR38,162，C、D选项不一定正确；

对于A选项，由于bca，bcbcabc8，A选项正确；

对于B选项，abababc8，即abab8成立，但abab162不一定成立. 故选：A. 【点睛】

本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 35．B 【分析】

如解析中图形，可在HAB中，利用正弦定理求出HB，然后在RtHBO中求出直角边

HO即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】

如图，由题意HAB45,HBA105，∴AHB30， 在HAB中，

HBABHB102，即，HB20． sinHABsinAHBsin45sin30∴OHHBsinHBO20sin60103，

v10353（米/秒）． 4623故选B． 【点睛】

本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．