2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一
（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）
1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（ ） A．﹣
B．1
C．﹣或﹣1
D．﹣1
2．（5分）下列命题中正确的个数为（ ） ①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同； ②若非零向量
与
共线，则A、B、C、D四点共线；
•
＜0；
＝
． C．2个
D．3个 ＝
，b2﹣a2＝
ac，
③△ABC中，若B＞90°，则
④四边形ABCD是平行四边形，则必有A．0个
B．1个
3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若则cosC等于（ ） A．
B．
C．
D．
4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n＝（ ） A．﹣1
B．1
C．0
D．2
5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A．25
B．35
C．42
D．50
6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+中不可能的是（ ） A．相交
B．相切
＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系
C．过圆心 D．相离
7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（ ）
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A．（﹣，0） B．[﹣2，0） C．[﹣，0） D．[﹣1，0）
8．（5分）已知x＞1，y＞0，且A．9
B．10
+＝1，则x+2y的最小值为（ ）
C．11
D．7+2
9．（5分）下列说法正确有（ ）
①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；
③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞． A．①④
B．②④
C．③④
D．④
，以Tn表示{an}的前n项积，
10．（5分）已知{an}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝则使得Tn达到最大值的n是（ ） A．4
B．5
C．6
D．7
11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（ ） A．4﹣2
B．2﹣
C．
﹣1
D．
12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tanA的取值范围是（ ） A．[
，+∞）
B．（
，+∞）
C．（
，+∞）
D．[2，+∞）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）直线l：x﹣ysin
+1＝0的斜率为 ．
14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若
⊥（2+），则λ＝ ．
15．（5分）设等差数列{an}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{nan}的前n项和记为Sn，则S6的值为 ．
16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos＝bsinA，则B＝ ，若a≥c＝2，则a的取值范围是 ． 三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．
第2页（共19页）
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值． 18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且设
＝t
，AP与BE相交于F． ，•
表示
；
＝3
，
（1）试用（2）求
的取值范围．
19．（12分）设等比数列{an+bn}的公比为3，等差数列{an﹣bn}的公差为2，且a1＝b1＝1． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{n（an﹣n）}的前n项和Sn．
20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线PA、PB的方程； （2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．
21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．
（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0；
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（2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求的最小值．
22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上． （1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．
2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）高一
（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分．）
1．（5分）已知直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（ ） A．﹣
B．1
C．﹣或﹣1
D．﹣1
【分析】根据直线的截距相等，得到关于a的方程，解出即可． 【解答】解：显然直线不过（0，0），截距不是0， 故直线可化为：
+
＝1，
若直线（2a+1）x+ay﹣2＝0在两坐标轴上的截距相等， 则
＝，解得：a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查对应思想，是一道常规题．
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2．（5分）下列命题中正确的个数为（ ） ①如果＝λ（λ∈R），那么与方向相同； ②若非零向量
与
共线，则A、B、C、D四点共线；
•
＜0；
＝
． C．2个
D．3个
③△ABC中，若B＞90°，则
④四边形ABCD是平行四边形，则必有A．0个
B．1个
【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断．
【解答】解：对于①，＝λ（λ∈R），那么与方向相同或相反，故①错误， 对于②，非零向量
与
共线，则A，B，C，D四点共线或AB与CD平行，故②错误，
•
＜0，故③正确，
＝
，故④正确．
对于③，△ABC中，若B＞90°，则
对于④，四边形ABCD是平行四边形，则必有故选：C．
【点评】本题考查向量的相等，向量的平行，关键是掌握共线的条件，属于基础题． 3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若则cosC等于（ ） A．
B．
C．
D．
ac，可求得b＝
＝
，b2﹣a2＝
ac，
【分析】解：由已知利用正弦定理可得c＝2a，进而根据余弦定理可求cosC的值． 【解答】解：∵
＝
， ，即c＝
a，
a，结合已知b2﹣a2＝
∴由正弦定理可得：＝又∵b2﹣a2＝
ac，
∴b2﹣a2＝3a2，可得b＝2a， ∴cosC＝故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能
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＝＝，
力和转化思想，属于基础题．
4．（5分）圆心都在直线L：x+y＝0上的两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），则m+n＝（ ） A．﹣1
B．1
C．0
D．2
【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线，再由两直线斜率的关系列式可得m+n的值．
【解答】解：∵两圆相交于两点M（m，3），N（﹣3，n），且两圆的圆心都在直线x+y＝0上，
∴MN垂直直线x+y＝0， 则MN的斜率k＝故选：C．
【点评】本题主要考查圆与圆相交的性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题． 5．（5分）某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ） A．25
B．35
C．42
D．50
，得m+n＝0．
【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，则a（1+x）2＝a．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．
【解答】解：设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x，8月份产量去年同期水平为a，
则a（1+x）2＝a． 解得x＝
≈0.414≈42%．
∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点． 故选：C．
【点评】本题考查百分点的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知直线l：mx﹣y﹣m+
＝0与圆C：（x﹣2）2+y2＝4．直线l与圆C下列关系
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中不可能的是（ ） A．相交
B．相切
C．过圆心
D．相离
【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点，由此可得直线l与圆C不可能相离． 【解答】解：由直线l：mx﹣y﹣m+由
，得
＝0，得m（x﹣1）﹣y+
）．
＝0，
，可得直线l过定点A（1，
圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2． ∵|CA|＝
，∴A在圆C上，
∴直线l与圆C不可能相离，故选：D．
【点评】本题考查直线与圆位置关系，训练了直线系方程的应用，是基础题． 7．（5分）已知两个非零向量，的夹角为A．（﹣，0）
B．[﹣2，0）
，且|﹣|＝2，则•的取值范围是（ ） C．[﹣，0）
D．[﹣1，0） 进行化简可得
+||•
【分析】对|﹣|＝2两边平方后，结合•＝||•||cos||+||
＝4；由基本不等式的性质知，，再结合平面向量数量积即可得解．
﹣2•+
＝4， +
≥2||•||，于是推出0＜||•
【解答】解：∵|﹣|＝2，∴∴
﹣2||•||cos
+
＝4，即
+
+||•||+≥2||•||，
＝4，
由基本不等式的性质可知，∴0＜||•||
，
＝
∴•＝||•||cos故选：C．
||•||∈[，0）．
【点评】本题主要考查平面向量数量积运算，还涉及利用基本不等式的性质求最值，对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．（5分）已知x＞1，y＞0，且A．9
B．10
+＝1，则x+2y的最小值为（ ）
C．11
第7页（共19页）
D．7+2
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0， 又y＞0，且
+＝1，
∴x+2y＝（x﹣1）+2y+1 ＝[（x﹣1）+2y]（＝6+≥6+2＝10， 当且仅当
＝
，即x＝4，y＝3时等号成立，
+
+）+1
故x+2y的最小值为10． 故选：B．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 9．（5分）下列说法正确有（ ）
①若|a|＞b，则a2＞b2；②a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d；
③若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd；④若a＞b＞0，c＜0，则＞． A．①④
B．②④
C．③④
D．④
【分析】对于①②，可根据条件取特殊值判断；对于③④，可直接利用不等式的基本性质判断．
【解答】解：①由|a|＞b，取a＝0，b＝﹣2，则a2＞b2不成立，故①错误； ②由a＞b，c＞d，取a＝c＝0，b＝d＝﹣1，则a﹣c＞b﹣d不成立，故②错误； ③∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，∴ac＞bd，故③正确； ④由a＞b＞0，得故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 10．（5分）已知{an}为等比数列，a1a3a5＝27，a2a4a6＝则使得Tn达到最大值的n是（ ） A．4
，∵c＜0，∴，故④正确．
，以Tn表示{an}的前n项积，
B．5 C．6
第8页（共19页）
D．7
【分析】先求出首项和公比，得出{an}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，从而得出结论．
【解答】解：∵{an}为等比数列，a1a3a5＝27＝
，a2a4a6＝
＝
，
∴a3＝3，a4＝，∴q＝＝，a1＝12，a5＝a4•q＝＜1．
故{an}是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以Tn表示{an}的前n项积，则使得Tn达到最大值的n是4， 故选：A．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11．（5分）若直线ax+by﹣2＝0（a，b＞1）始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的周长分为1：2．则+的最大值为（ ） A．4﹣2
B．2﹣
C．
﹣1
D．
【分析】由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1：2，可推出圆心到直线的距离为1，即
，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab的最小值，再
求出+的最大值．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0化成标准形式为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，其中圆心为（1，1），半径为2．
设直线与圆交于A、B两点，圆心为C，
因为直线把圆的周长分为1：2，所以∠ACB＝×360°＝120°，
所以圆心C（1，1）到直线ax+by﹣2＝0的距离为1，即，
因为a，b＞1，所以ab﹣2（a+b）+2＝0， 由基本不等式的性质可知，ab+2＝2（a+b）≥4
第9页（共19页）
，
当且仅当a＝b时，等号成立，此时有ab≥，
所以+＝＝＝+．
≤+＝2﹣．
所以+的最大值为2﹣故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2＝b2+c2，则tanA的取值范围是（ ） A．[
，+∞）
B．（
，+∞）
C．（
，+∞）
D．[2，+∞）
【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系，化简可得tanA＝3tanB，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tanA＞0，tanC＞0，解不等式可得所求范围． 【解答】解：由a2＝b2+c2， 又a2＝b2+c2﹣2bccosA， 则b2+c2＝b2+c2﹣2bccosA， 可得c＝4bcosA，
由正弦定理可得：sinC＝4sinBcosA，
可得sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝4sinBcosA， 化为3sinBcosA＝sinAcosB，
在锐角△ABC中，cosA≠0，cosB≠0， 则tanA＝3tanB，
又tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣，
由tanA＞0，tanC＞0，可得1﹣tan2A＜0， 解得tanA＞
，
第10页（共19页）
故选：B．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）直线l：x﹣ysin【分析】求出sin
+1＝0的斜率为
．
，把直线方程变形，再由直线的一般方程求斜率公式得答案．
+1＝0，得x﹣
，
【解答】解：由直线l：x﹣ysin即2x﹣
．
则该直线的斜率k＝故答案为：
．
．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查由直线方程求直线的斜率，是基础题． 14．（5分）已知向量＝（﹣1+2t，2），＝（2，﹣4+4t），＝（1，λ）（其中t，λ∈R）．若
⊥（2+），则λ＝ ﹣1 ． 【分析】根据条件求出再求出λ的值． 【解答】解：∴
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5分）设等差数列{an}满足：a4+a6＝4，a82﹣a22＝48．数列{nan}的前n项和记为Sn，则S6的值为 14 ．
【分析】等差数列{an}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得an，nan，计算可得所求和．
【解答】解：等差数列{an}的公差设为d，
由a4+a6＝4，a82﹣a22＝48，可得2a1+8d＝4，6d•（2a1+8d）＝48，
第11页（共19页）
，然后由，得到，
，，∴λ＝﹣1．
，且，
解得a1＝﹣6，d＝2，
可得an＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8， nan＝2（n2﹣4n），
则S6＝2[（12+22+32+42+52+62）﹣4（1+2+3+4+5+6）] ＝2×（1+4+9+16+25+36﹣4×21）＝14． 故答案为：14．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos＝bsinA，则B＝
，若a≥c＝2，则a的取值范围是 （1，4） ．
＝
，可推出sinAcos＝sinBsinA，再结合二倍角公式
【分析】①由正弦定理和B的取值范围即可得解； ②由正弦定理式可将其化简为＞
＝
，知a＝，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公
），可求得C∈（
，
），即tanC
；然后由A、C∈（0，
，将其代入化简后的式子即可得解．
＝
，
【解答】解：①由正弦定理知，
∵acos＝bsinA，∴sinAcos＝sinBsinA， ∵sinA≠0，∴cos＝sinB＝2sincos， ∵锐角△ABC，∴B∈（0，
），∈（0，
． ，
），
∴cos≠0，sin＝，∴B＝②由正弦定理知，
＝
∴a＝＝＝
）， ﹣C∈（0，
＝，
∵锐角△ABC，∴A、C∈（0，∵A+C＝π﹣B＝
，∴A＝
），即C∈（，），
第12页（共19页）
∴C∈（∴a＝
，），tanC＞∈（1，4）． ；（1，4）．
，
故答案为：
【点评】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题（解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（12分）已知直线l过点P（﹣1，2）．
（1）若直线l在两坐标轴上截距和为零，求l方程；
（2）设直线l的斜率k＞0，直线l与两坐标轴交点分别为A、B，求△AOB面积最小值． 【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k的值，可得结论． （2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值． 【解答】解：（1）直线l过点P（﹣1，2），若直线l在两坐标轴上截距和为零， 设直线l的方程为y﹣2＝k（x+1），即kx﹣y+2+k＝0． 则它在两坐标轴上截距分别为﹣1﹣ 和 k+2， 由题意，﹣1﹣+k+2＝0，∴k＝﹣2 或k＝1， 直线l的方程为 2x+y＝0 或x﹣y+3＝0． （2）设直线l的斜率k＞0，
则直线l：kx﹣y+2﹣k＝0与两坐标轴交点分别为A（
﹣1，0）、B（ 0，k+2），
求△AOB面积为 S＝|﹣1|•|k+2|＝＝+2+≥2+2＝4，
当且仅当k＝2时，等号成立， 故△AOB面积最小值为4．
【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题．
18．（10分）如图，在正△ABC中，AB＝2，P，E分别是BC、CA边上一点，并且设
＝3，
＝t，AP与BE相交于F．
第13页（共19页）
（1）试用（2）求
•
，表示；
的取值范围．
【分析】（1）由解； （2）由+t
＝3]•（
，知﹣
＝
﹣
，再结合平面向量的数量积可推出
•
•
＝[（1﹣t）
＝t
，可推出
＝
+t
，而
＝
﹣
，代入化简整理即可得
）＝（4t﹣5），而t∈[0，1]，从而求得＝t＝＝+t）]•（•， +t（
＝﹣+t﹣
）＝（1﹣t）﹣） ，
+t
的取值范围．
【解答】解：（1）∵∴
＝
+＝3
＝
+t，∴
．
（2）∵∴
•
＝[（1﹣t）
+（
＝（t﹣1）
＝4（t﹣1）+（＝（4t﹣5）．
）×2×2cos60°+t×4
∵P是BC边上一点，∴t∈[0，1]， ∴
•
＝（4t﹣5）∈[
，
]．
【点评】本题考查平面向量的线性和数量积运算，熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算法则是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）设等比数列{an+bn}的公比为3，等差数列{an﹣bn}的公差为2，且a1＝b1＝1． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{n（an﹣n）}的前n项和Sn．
第14页（共19页）
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得an；
（2）求得n（an﹣n）＝n（3n1﹣1），分别运用数列的分组求和、错位相减法求和，结
﹣
合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）由等比数列{an+bn}的公比为3，等差数列{an﹣bn}的公差为2，且a1＝b1＝1，
可得an+bn＝（a1+b1）•3n1＝2•3n1，
﹣
﹣
an﹣bn＝（a1﹣b1）+2（n﹣1）＝2n﹣2， 则an＝n﹣1+3n1，n∈N*；
﹣
（2）n（an﹣n）＝n（3n1﹣1），
﹣
Sn＝（1•30+2•31+3•32+…+n•3n1）﹣（1+2+…+n），
﹣
设Tn＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n1，
﹣
3Tn＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
上面两式相减可得﹣2Tn＝1+31+3•32+…+3n1﹣n•3n
﹣
＝
﹣n•3n，
•3n，
•3n﹣n（n+1）．
化为Tn＝+则Sn＝+
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和、错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20．（12分）圆x2+y2＝4，点P为直线l：x+y﹣4＝0上一动点，过点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若点P的坐标为（6，﹣2），求直线PA、PB的方程； （2）求证：直线AB恒过定点Q，并求出该定点Q的坐标．
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【分析】（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6），由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；
（2）根据题意，设P（4﹣m，m），可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，求出以PO为直径的圆的方程，与圆O的方程联立，消去二次项可得直线AB的方程，再由直线系方程可得定点Q的坐标．
【解答】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为y+2＝k（x﹣6）， 即kx﹣y﹣6k﹣2＝0． 由
，解得k＝﹣或k＝0．
∴所求切线方程分别为y＝﹣2和3x+4y﹣10＝0；
证明：（2）根据题意，点P为直线x+y﹣4＝0上一动点，设P（4﹣m，m）， ∵PA，PB是圆O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦，
可得以PO为直径的圆的方程为[x﹣（2﹣）]2+（y﹣）2＝（2﹣）2+（）2， 即x2﹣（4﹣m）x+y2﹣my＝0，① 又圆O的方程为：x2+y2＝4，②， ①﹣②，得（4﹣m）x+my﹣4＝0，
即m（y﹣x）+4x﹣4＝0，则该直线必过点Q（1，1）．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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21．（12分）设函数f（x）＝ax2+4x+b．
（1）当a＞0且a+b＝4时，解关于x的不等式f（x）≥0； （2）已知a＞b，若f（x）的值域为[0，+∞），求
的最小值．
【分析】（1）把a＞0且a+b＝4，代入不等式，利用配方法可求得不等式的解； （2）化简变形
，再利用基本不等式，即可求得最小值．
【解答】解：（1）由a＞0且a+b＝4，代入不等式f（x）≥0，得ax2+4x+4﹣a≥0， 化简，得（x+1）（ax﹣a+4）≥0，∴x≤﹣1或x≥1﹣，
当a＞2时，1﹣＞﹣1；∴不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1﹣}； 当0＜a＜2时，1﹣＜﹣1，∴不等式的解集为{x|x≤1﹣或x≥﹣1}； 当a＝2时，1﹣＝﹣1，∴不等式的解集为R． （2）由f（x）的值域为[0，+∞），可得a＞0，△＝0， ∴16﹣4ab＝0，可得ab＝4．
＝
≥2
当且仅当a﹣b＝
＝4时，
＝（a﹣b）+．
的最小值为4
．
【点评】本题考查二次函数不等式的解法，利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．
22．（12分）如图，有一矩形空地ABCD，AB＝2BC＝40米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是∠EOF＝60°，其中E、F分别在边BC，CD上． （1）若∠BOE＝30°，求四边形OECF的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．
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【分析】（1）四边形OECF的面积S＝SOBCF﹣S△BOE；
（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，过点F作FM⊥AB于点M，利用三角函数的知识可推出种植甲、乙两种蔬菜的面积S甲和S乙；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y，可用含α的式子表示出y；令f（α）＝tanα﹣
，
结合正切的两角差公式和基本不等式的性质可求出f（α）取得最小值时，tanα的值，再将其代入S甲的表达式中即可得解．
【解答】解：（1）由∠EOF＝60°，∠BOE＝30°，可知OF⊥OB，O为AB中点， ∵AB＝2BC，∴OB＝BC，∴四边形FOBC为正方形． 在Rt△BOE中，∠BOE＝30°，OB＝20米，∴BE＝∴四边形OECF的面积为SOBCF﹣S△BOE＝米．
，
平方
（2）设∠BOE＝α∈[0°，45°]，则∠AOF＝120°﹣α，过点F作FM⊥AB于点M， 在Rt△OBE中，BE＝OB•tanα＝20tanα； 在Rt△OMF中，OM＝
．
∴种植乙种蔬菜的面积S乙＝S△BOE+SADFO＝OB•BE+（OA+DF）•AD ＝×20×20tanα+×[20+20﹣＝200[tanα+2﹣
]，
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＝，∴DF＝OA﹣OM＝20﹣
]×20
种植甲种蔬菜的面积S甲＝S矩形ABCD﹣S乙＝800﹣200[tanα+2﹣﹣tanα+
]，
]＝200[2
设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m，该空地产生的经济价值为y， 则y＝3m•S甲+m•S乙 ＝3m×200×[2﹣tanα+＝400m×[4﹣（tanα﹣
]+m×200×[tanα+2﹣）]．
]，
令f（α）＝tanα﹣＝tanα﹣＝，
＝＝（tanα+≥2
当且仅当tanα+
）+
﹣
﹣
＝2，即tanα＝2﹣
＝4﹣，
时，等号成立．
，此时tanα＝2﹣
若该空地产生的经济价值y最大，则f（α）应取得最小值，为4﹣，
∴S甲＝200[2﹣tanα+（
﹣1）平方米．
]＝200×[2﹣（2﹣
）﹣
]＝400
故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为400（﹣1）平方米．
【点评】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与基本不等式的性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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