三、反比例函数 1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式； 39（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝ 时，S有最大值，求a、b的值；
48
（3）在（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比
例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．
y B
P D
x O C A
1．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b 由A（4，0），B（0，6），得
3k＝－24k＋b＝0
解得 b＝6b＝6
3
∴直线AB的解析式为y＝－x＋6
2
3
∵OC＝x，∴P（x，－x＋6）
2
3
∴S＝x(－x＋6)
2
3
即S＝－x2＋6x（0＜x＜4）
2
（2）设直线AB的解析式为y＝mx＋n ∵OC＝x，∴P（x，mx＋n） ∴S＝mx2＋nx
39
∵当x＝ 时，S有最大值
48
m＝－2
∴ 解得
939n＝316m＋4n＝8
－
n3＝2m4
∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3 3
∴A（，0），B（0，3）
2
3
即a＝，b＝3
2
（3）设点M的坐标为（xM，yM），
∵点M在（2）中的直线AB上，∴yM＝－2xM＋3 ∵点M到x轴、y轴的距离相等， ∴xM＝yM或xM＝－yM
当xM＝yM时，易得M点的坐标为（1，1）
1
∴过M点的反比例函数的解析式为y＝ x
1
∵点N在y＝的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
x
32
∴点N的坐标为（，）
23
当xM＝－yM时，M点的坐标为（3，－3）
9
过M点的反比例函数的解析式为y＝－
x
9
∵点N在y＝－的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
x
3
∴点N的坐标为（，－6）
2
323
综上，点N的坐标为（，）或（，－6）
232
k1
2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直
x
k2
线，与x轴交于点B，与双曲线y＝（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC
x
右侧，E是AD的中点．
（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）； k1
（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上，求m的值；
x
（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．
y y y
A A A E E E x x O B D x O B D O B D
F
C C C 图1 图2 图3
解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2） ∵k1＞0，k2＜0，∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC＝k1－k2 13
当m＝4时，S△ACD＝AC·BD＝(k1－k2)
22
（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥AB
∵E是AD的中点，∴G是BD的中点 ∵A（1，k1），B（1，0），D（m，0）
m－1m＋11k11
∴EG＝AB＝，BG＝BD＝，OG＝OB＋BG＝
22222
y A E O B G D x
m＋1k1
∴点E的坐标为E（，）
22
k1
∵点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上
x
m＋1k1
·＝k1 ① ∴22
C
∵k1＞0，∴方程①可化为
m＋1
＝1，解得m＝3 4
3k1
（3）当m＝2时，点D的坐标为D（2，0），由（2）可知点E的坐标为E（，）
22
1
∵S△BDF＝1，∴BD·OF＝1，∴OF＝2
2
设直线BE的解析式为y＝ax＋b（a≠0） 3k1
∵B（1，0），E（，）
22
y A E O F C B D x
k＝k1
∴3 k1 解得
b＝－ka＋b＝122
a＋b＝0
∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1
∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0 ∴点F的坐标为F（0，－k1），∴OF＝k1 ∴k1＝2
线段CF的长为5
1k
3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝，反比例函数y＝（k≠0）在
2x
第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． y
B
E
D F
x A O C
k
解：（1）∵点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上
x
4m＝k∴ 得n＝2m 2n＝k
过点E作EH⊥BC于H，连接DE
1
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC＝，EH＝2，∴BH＝1
2
y
B E F A O H D C x
∴D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1） 11
∵S△BDE＝BD·EH＝(m＋1)×2＝2，m＝1
22
∴D（4，1），E（2，2），B（4，3）
k
∵点D（4，1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝4
x
4
∴反比例函数的解析式为y＝
x
设直线AB的解析式为y＝k′x＋b，把B（4，3），E（2，2）代入
3＝4k′＋bk′＝2得 解得
′2＝2k＋b
1
b＝1
1
∴直线AB的解析式为y＝x＋1
2
1
（2）∵直线y＝x＋1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1）， 2
y B E F D P O C x ∴FD∥x轴，∠EFP＝∠EAO
因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况： ①若
EFEA＝，则△FEP∽△AEO FPAO
∵E（2，2），F（0，1），∴EF＝5
1
∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，∴A（0，－2）
2
A
∴
525＝，∴FP＝1 FP2
y B ∴P（1，1）
FPAE②若＝，则△FPE∽△AEO
EFOA
E F P
D FP25
∴＝，∴FP＝5
2x 5A O C ∴P（5，1） 4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA :AB :OC＝5 :5 :3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD． （1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；
（2）在（1）的条件下，反比例函数y＝
m
的图象经过点B． x
①求证：反比例函数y＝②设反比例函数y＝
m
的图象与直线AB必有两个不同的交点； x
m
的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）x
在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．
y B F C E A O x 解：（1）∵A（5n，0），OA :OC＝5 :3，点C在y轴的正半轴上 ∴C（0，－3n）
∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n 过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3n
设OG＝x，在Rt△ABG中，(－5n－x)2＋(－3n)2＝(－5n)2 解得x＝－n或x＝－9n（舍去） ∴B（n，－3n）
设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD
y B F C D E A G O x 5
∴t2＝(－3n－t)2＋(－n)2，∴t＝－n
3
5
∴D（0，－n）
3
把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得 nk＋b＝－3n4 解得k＝－ 53b＝－n3
（2）①∵比例函数y＝3n2∴y＝－
x
m2 的图象经过点B，∴m＝n(－3n)＝－3n x
315
由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝x－n
44
3n2315
由y＝－和y＝x－n消去y并整理得：3x2－15nx＋12n2＝0
x44
∵△＝(－15n)2－4×3×12n2＝9n2＞0
3n2
∴反比例函数y＝－的图象与直线AB必有两个不同的交点
x
x＝4nx＝n
联立 解得 3
y＝－3n315y＝－n4y＝x－n44
3n2
y＝－x
1
2
12
3
∴E（4n，－n）
4
3
当点E过点P时，有－n－1＝－n，∴n＝－4
4
3
当点E过点Q时，有－n－2＝－n，∴n＝－8
4
∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：－8≤n≤－4
5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 解：（1）当k＝－2时，A（1，－2）
k′
设反比例函数为y＝，则k′＝1×(－2)＝－2
x
2
∴反比例函数的解析式为y＝－ x
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大 则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k＜0
b1
此时二次函数开口向下，故x≤－＝－才满足要求
2a2
1
综上所述，k＜0且x≤－ 2
1515
（3）∵y＝k(x2＋x－1)＝k(x＋)2－k，∴Q（－，－k）
2424
∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点
又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA 1523∴(－)2＋(－k)2＝12＋k2，解得k＝± 243
6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点k1E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝．
x2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．
y
F B C
D G
E
x O H A
1
解：（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝ 2
∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2） ∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）
kk
∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴1＝，∴k＝2
x2
y C G O F D H B E A x 2
∴反比例函数的解析式为y＝
x
（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1 连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t 在Rt△CGF中，FG ＝CF ＋CG 5
∴t ＝1＋(2－t)，解得t＝
4
2
2
2
222
5
∴OG＝t＝ 4
7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－
23的图象上． x
（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）； （3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？
②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况． y
y
x O Q P x O
N M
备用图 y 解：（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0）， 显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限 ∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x
M1 N1 13
∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝(1－x)，M1H＝(1－x)
22
11
∴OH＝－x－(1－x)＝－(1＋x)
22
Q1 H O N P M Q x 13
∴M1（(1＋x)，(1－x)）
22
y ∵点M1在反比例函数y＝－
23
的图象上 x
M3 N3 13
∴(1＋x)·(1－x)＝－23，解得：x＝3（舍去）或x＝－3 22
∴M1（－1，23）
（2）k＝－3，b＝3m
提示：连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60° ∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°
Q3 (Q1) O M1 P N6 M6 Q6 x N1 可得直线MM1的解析式为y＝－3x＋b，∴k＝－3
若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－3x＋3m
∴b＝3m
（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点
y 由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝3x－3m 令y＝3x－3m＝－
23
，得x2－mx＋2＝0 x
N4 M5 Q5 P N5 M4 Q2 O (Q4) x
△＝m2－8＝0，得m＝±22
∴当－22＜m＜22时，△＜0，满足条件的菱形有两个 当m＝±22时，△＝0，满足条件的菱形有三个
当m＞22或m＜－22时，△＞0，满足条件的菱形有四个 ②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±22 当m＝22时，点P的坐标为（22，0）
把m＝22代入x2－mx＋2＝0，得x2－22x＋2＝0 解得x＝2，∴M1（2，－6）
N2 M2
13
设Q（x，0），由（1）知，(22＋x)·(22－x)＝－23
22
解得：x＝4或x＝－4
∴M2（2－2，－23－6），M3（－2＋2，23＋6）
当m＝－22时，由对称性可得：M4（－2，6），M5（－2－2，23－6），M6（2＋2，－23＋6） 8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B
k
两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
x
（1）填空：B点的坐标为（______，______）；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由； y y （3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA
和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标． A A
B B
x x O O
备用图
解：（1）（3，1）
k
（2）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3）
x
y
∴k＝1×3＝3
3
∴反比例函数的解析式为y＝
x
A P C x 图1
∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m） ①若PC为平行四边形的边
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2 ∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1 若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2 把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：
3
m－2＝，解得m＝±7 m＋2
∵m＞0，∴m＝7
B O y C A
∴C1（7＋2，7－2）
同理可得另一点C2（7－2，7＋2） ②若PC为平行四边形的对角线，如图3 ∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB
3
此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点
x
y＝xx1＝3x2＝－3由 解得 （舍去） 3
y＝y1＝3y2＝－3x
P B O 图2
x
y
∴C3（3，3）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为： C1（7＋2，7－2），C2（7－2，7＋2），C3（3，3） （3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4 ∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP ∵S△AOP＝S△AOQ＋S△APQ
A C O P B x 图3 111
∴OP·AD＝AO·QE＋AP·QF 222
OP·AD
∴QE＋QF＝ 为定值
AO
y
∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值 当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点 ∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）
∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）
A E F D Q B P O 图4 x 6
9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别
x
3
交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．
x
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；
（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
y 3 y＝x y＝2x
C A P 6
y＝x
B
x O
6m63
解：（1）P（m，），A（，），B（m，）
m2mm
y mm633
（2）∵PA＝m－＝，PB＝－＝
22mmm
11m33
∴S△PAB＝PA·PB＝××＝ 222m4
A Q O P B x 图1 ∴△PAB的面积不变
（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2 则AP∥BQ且AP＝BQ m33m3得Q（，）或Q（，）
2m2m
∵点Q在直线y＝2x上 3m33m
∴＝2×或＝2× m2m2
y A P y
解得m＝3或m＝1（舍去负值） ∴P（3，23）或P（1，6）
②若AP是平行四边形的对角线，如图3 则QA∥PB且QA＝PB
B Q Q A P B m63得Q（，＋）
2mm
∵点Q在直线y＝2x上
63m
∴＋＝2×，解得m＝3（舍去负值） mm2
O 图2 x O 图3 x
∴P（3，2）
4
10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－ 的
x
图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．
y y
y＝x＋b
4 B 4
D
2 2 C E
－5 A －5 5 x O O
－2 －2 4y＝－x
－4 －4
5 x
－b－
备用图 22
b2－16b－b2－16－b＋b－16b＋b－16
解：（1）等腰直角 C（，），D（，）
2222
（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE，则OE＝CD ∵直线y＝x＋b与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴 ∴△DCE、△BAO是等腰直角三角形
y ∵整个图形是轴对称图形，∴OE平分∠AOB，∠AOE＝∠BOE＝45° y＝x＋b ∵CE∥x轴，DE∥y轴，∴四边形CAOE、OEDB为等腰梯形 4 B ∴OE＝AC＝BD D ∵OE＝CD，∴OE＝AC＝BD＝CD 2 C 过点C作CF⊥x轴于F，则△AFC∽△AOB
E CFAC111
－5 A 5 x ∴＝＝，∴yC＝CF＝BO＝b F O BOAB333
－2 4b－b2－161y＝－x ∴＝b，解得b＝±32
23
－4 ∵b＞4，∴b＝32
∴当b＝32时，点E在⊙O上 图1 （3）当⊙O与直线y＝x＋b相切于点G时，如图2，连接OG ∵整个图形是轴对称图形，∴点O、E、G在对称轴上
111
∴GC＝GD＝CD＝OG＝AG
222
y y＝x＋b
1
∴AC＝CG＝GD＝DB，∴AC＝AB
4
D G C －54 B 2
过点C作CH⊥x轴于H，则△AHC∽△AOB CHAC111∴＝＝，∴yC＝CH＝BO＝b BOAB444
E H A O －25 x b－b2－16183∴＝b，解得b＝± 243
4y＝－x ∵b＞4，∴b＝
83 3
－483
∴当b＝时，直线y＝x＋b与⊙O相切
3
图2
当4＜b＜
83
时，直线y＝x＋b与⊙O相离 3
当b＞
83
时，直线y＝x＋b与⊙O相交 3
c
11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相
x
5
交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m、n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．
2
（1）求k、b的值；
3c
（2）设－1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存
2x
在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
y
B D P
A
x O
C
cc
解：（1）将点B（－1，5）代入y2＝，得5＝，∴c＝－5
x－1
5
∴y2＝－ x
555
将点C（，d）代入y2＝－，得d＝－＝－2
2x5
2
5
∴C（，－2）
2
5
将B（－1，5），C（，－2）代入y1＝kx＋b，得
2
5＝－k＋bk＝－2 解得 5
b＝3－2＝k＋b2
（2）存在
3
由（1）知，y1＝－2x＋3，令y1＝0，即－2x＋3＝0，得x＝ 2
3
∴A（，0）
2
3
∵－1＜m＜，∴点P在线段AB上运动（不含A、B）
2
3－n设P（，n）
2
55
∵DP∥x轴，且点D在y2＝－的图象上，∴D（－，n）
xn
113－n513249
∴S△PAD＝DP·yP＝(＋)·n＝－(n－)＋
222n4216
1
∵－＜0，∴S△PAD有最大值
4
3
∵n＝－2m＋3，－1＜m＜，∴0＜n＜5
2
34933
∴当n＝时，△PAD的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）
21642
（3）∵m＝1－a，∴n＝1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，∴m≠n 即1－a≠1＋2a，∴a≠0
①当a＞0时，则1－a＜1＜1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
1－a＞01∴ 解得0＜a≤
21＋2a≤2
②当a＜0时，则1＋2a＜1＜1－a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
1＋2a≥01∴ 解得－≤a＜0
21－a＜2
11
综上所述，实数a的取值范围是－≤a＜0或0＜a≤
22
12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝
3
（x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接16x
OP、OQ．点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a． （1）求证：△OAQ≌△OBP； （2）当a为何值时，CE＝AC？
（3）是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
y
B P
D E Q F x O C A
（1）证明：设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∴k＋b＝0 解得
k＝－1b＝1
b＝1 ∴y＝－x＋1 y＝－x＋1x1＝13
4x2＝
联立
4
3 解得
y＝
16x31
y1＝
4y2＝
4
∴P（13314
，
4），Q（
4
，）
4
过P作PM⊥y轴于M，过Q作QN⊥x轴于N 则PM＝QN＝3
4
∵OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠OBA＝45° ∴AQ＝2QN，BP＝2PM，∴AQ＝BP 在△△OAQ和△OBP中
OA＝OB∠OAQ＝∠OBP ∴△△OAQ≌△OBP AQ＝BP
（2）解：过D作DG⊥OA于G ∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形∴DG＝1
2 CA＝1 a 2
∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝1
2
a
∵CE＝AC，∴(1－a12
)2＋(
2
a)＝a2
解得：a＝4＋23（舍去）或a＝4－23 ∴当a＝4－23
时，CE＝AC
（3）存在
由（2）知，C（1－a，0），E（0，a
）
2
可得直线EC的解析式为y＝
aa
2a－2
x＋
2
由Q（34
，14），得直线OQ的解析式为y＝1
3
x
y＝aa3a－3a2
＋
解方程组2a－2x2
x＝
得a＋2
y＝1
3
x
a－a2
y＝
a＋2
∴F（3a－3a2
a－a2
a＋2
，）
a＋2
①若EF＝OF
a－a2
过F作FH⊥OE于H，则OH＝1OE，∴
2
a＋2
＝1
a
4
y B M P E D Q F O C G N A x y B P Q HE F D O C N A x ∵a≠0，∴
1－a12
＝，解得a＝ a＋245
3
∴C1（，0）
5
1
②若OE＝OF，则OF＝a
2
y B P
过F作FH⊥OC于H
3a－3aa－a1∵F（，），∴FH＝OH
a＋2a＋23
22
a－a2111
∴FH＝OF＝a，∴＝a
a＋210210210
E O DQ F H C A x 1－a14－2101
∵a≠0，∴＝，解得a＝
13210a＋2
210－1
∴C2（，0）
13
③若OE＝EF
110
过E作EK⊥OF于K，则OK＝OF＝FH
22
y
B P D Q K F O H C A x 易证△EOK∽△OFH，得OE＝10OK＝5FH a－a211
即FH＝OE，∴＝a 5a＋210
E
∵a≠0，∴
1－a18
＝，解得a＝ a＋21011
3
∴C3（，0）
11
210－133
综上所述，存在点C1（，0），C2（，0），C3（，0），使得△OEF为等腰三角形
51311
13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝m
（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公x
共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）． y
C D P B
O A x 解：（1）由题意，AD＝BC＝2，故点D的坐标为（1，2） m
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D（1，2）
x
m
∴2＝，∴m＝2
1
反比例函数的解析式为y＝x
2
（2）当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3
∴一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C 2
（3）设点P的横坐标为a，＜a＜3 3
14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝
k
经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过Cx
作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC． （1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：（1）∵双曲线y＝k
∴1＝，∴k＝6
6
y B A C O D x
k
经过点D（6，1） x
（2）设点C到BD的距离为h ∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，∴BD＝6 1
∴S△BCD＝×6×h＝12，∴h＝4
2
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1 ∴点C的纵坐标为－3 6
∴－3＝，∴x＝－2
x
y
∴点C的坐标为（－2，－3） 设直线CD的解析式为y＝kx＋b
1－2k＋b＝－3k＝2 则 解得
6k＋b＝1b＝－2
B A C O F E D x
1
∴直线CD的解析式为y＝x－2
2
（3）AB∥CD 理由如下：
设直线CD与x轴，y轴分别交于点E，F，则E（4，0），F（0，－2）
∴OE＝4，OF＝2，∴tan∠EFO＝
OE
＝2 OF
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，C（－2，－3），D（6，1）
∴A（－2，0），B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∴tan∠ABO＝
OA
＝2 OB
∴∠ABO＝∠EFO，∴AB∥CD 15．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）． （1）求反比例函数的解析式；
1
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－x＋b过点D，与线段AB相交于点F，求点F
2
的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
（4）若点P是x轴上的动点，点Q是（1）中的反比例在第一象限图象上的动点，且使得△PDQ为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．
y F E B A
D x O C k解：（1）设反比例函数的解析式为y＝ x
k
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴4＝ 3
∴k＝12，∴y＝
12 x
（2）由题意，点D的横坐标为4 把x＝4代入y＝
12
，得y＝3，∴D（4，3） x
11
把D（4，3）代入y＝－x＋b，得3＝－×4＋b
22
1
∴b＝5，∴y＝－x＋5
2
y A G F E B D
11
把y＝4代入y＝－x＋5，得4＝－x＋5
22
∴x＝2，∴F（2，4） 1
（3）∠AOF＝∠EOC
2
证明：在AO上取点G，使GC＝GF，连接GF 则∠GOF＝∠GFO，∴∠AGF＝2∠AOF 设GC＝GF＝x，则AG＝4－x 在Rt△AGF中，22＋(4－x)2＝x2
O C x 553
解得x＝，∴AG＝4－＝ 222
∴tan∠AGF＝
AF24
＝＝ AG33
2
∵tan∠AEO＝
AO4
＝，∴∠AGF＝∠AEO AE3
∴∠AEO＝2∠AOF
又AB∥OC，∴∠AEO＝∠EOC
1
∴∠EOC＝2∠AOF，即∠AOF＝∠EOC
2
1＋9719
（4）P1（，0），P2（5，0），P3（，0）
72
k
16．（湖北某校自主招生）在直角坐标系中，O为坐标原点，A是双曲线y＝（k＞0）在第一象限图象上
x
的一点，直线OA交双曲线于另一点C．
3
（1）如图1，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后与双曲线在第一象限的图象
2
交于点M，交y轴于点N，若
MN1
＝，求k的值； OA2
（2）如图2，若k＝1，点B在双曲线的第一象限的图象上运动，点D在双曲线的第三象限的图象上运动，且使得四边形ABCD是凸四边形时，求证：∠BCD＝∠BAD． y
y B
A M N
A
x O
C x O
C
D
图1 图2
3
解：（1）依题意，可得直线MN的解析式为y＝x，MN的解析式为y＝x＋ 2
y＝x
解方程组k 得点A的坐标为（k，k）
y＝x
设点M的坐标为（x1，y1），则∴x1＝
k
x1
＝
OA
＝2 MN
13
k，y1＝2k，代入y＝x＋中，解得k＝1 22
（2）作BE⊥x轴交AD于E，作DH⊥x轴交BC于H
1111设A（a，），B（b，），D（d，），则C（－a，－） abda y B 得直线AC的解析式为y＝
1
x a2
设BE交直线AC于点F，则F（b，
b） a2
H A F O E x 11
(a－b)2＋(－)2
aba2(a2b2＋1)AB
∴2＝＝24
1b2AF b(a＋1)2
(a－b)＋(－2)
aa
2
C
11
(a＋b)2＋(＋)2
aba2(a2b2＋1)BC
＝＝24
1b2CF 2b(a＋1)2
(a＋b)＋(＋2)
aa
2
D
∴
ABBC＝，∴BF平分∠ABC AFCF
同理，DH平分∠ADC ∴在△ABE和△CDH中
∠ABE＝∠EBC＝∠DHC，∠AEB＝∠ADH＝∠CDH ∴∠BCD＝∠BAD
k
17．（湖北模拟）如图，反比例函数y＝ 的图象经过点A（a，b）且|a＋23|＋(b－23)2＝0，直线y＝
x
2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式；
（2）将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上，求点M的坐标；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． y y
y＝2x－2 y＝2x－2
A A
x x O B O B
C C
备用图
解：（1）∵|a＋23|＋(b－23)2＝0，∴a＝－23，b＝23 ∴k＝ab＝－23×23＝－12
∴反比例函数的解析式为y＝－
12 x
（2）∵直线y＝2x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C ∴B（1，0），C（0，－2）
设线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点的对应点
分别为D、E，并设D（m，n），则E（m＋1，n＋2），代入y＝－
mn＝－12m＝2m＝－3 解得： 或 (m＋1)(n＋2)＝－12n＝－6n＝4
12
x
∴D（2，－6）或D（－3，4） 易知M为BD的中点
3
由B（1，0），D（2，－6），得M（，－3）
2
由B（1，0），D（－3，4），得M（－1，2） 3
∴点M的坐标为（，－3）或（－1，2）
2
y
y＝2x－2
A
B
x O
C
M E
D
（3）假设存在点P，使以PB为直径的圆恰好过点C 则∠PCB＝90° 设P（x，－
y E D A M O C B x y＝2x－2 y y＝2x－2 12），过P作PH⊥y轴于H，易证△CHP∽△BOC x
A P O B x 1212－2－＋2xx－xx
得＝（或＝） 2121
解得x1＝－2＋27，x2＝－2－27 C ∴P1（－2＋27，－1－7），P2（－2－27，－1＋7）
H P
18．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
G
C′ C B′
B
A O x A′
解：（1）作CN⊥x轴于N
在Rt△CNA和Rt△AOB中，∵NC＝OA＝2，AC＝AB ∴Rt△CNA≌Rt△AOB
∴AN＝BO＝1，NO＝NA＋AO＝3，且点C在第二象限 ∴d＝－3 y
k
（2）设反比例函数为y＝，点C′和B′在该比例函数图像上 x
P′ G
设C′（m，2），则B′（m＋3，1）
k
把C′、B′的坐标分别代入y＝，得k＝2m，k＝m＋3
x
C K B Q E C′ B′ A′ x ∴2m＝m＋3，m＝3，则k＝6 6
∴反比例函数解析式为y＝ x
N A O H F M′
得点C′（3，2），B′（6，1）
设直线B′C′的解析式为y＝ax＋b，把C′、B′的坐标分别代入，得
1a＝－33a＋b＝2
解得： 6a＋b＝1b＝3
1
∴直线B′C′的解析式为y＝－x＋3
3
（3）设Q是GC′的中点，易知G（0，3）
35
由G（0，3），C′（3，2），得Q（，）
22
6
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y＝的图象交于P′点
x
若四边形P′GM′C′的是平行四边形，则有P′Q＝QM′
33
易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于 22
作P′H⊥x轴于H，QK⊥y轴于K，P′H与QK交于点E
作QF⊥x轴于F，则△P′EQ≌△QFM′
3612
设EQ＝FM′＝t，则点P′的横坐标为－t，点P′的纵坐标为＝ 233－2t
－t2
3123125∴P′（－t，），M′（＋t，0），∴P′E＝－ 23－2t23－2t2
由P′E＝QF，得解得t＝
1255
－＝ 3－2t22
3
（经检验，它是分式方程的解） 10
361239∴－t＝，＝5，＋t＝ 253－2t25
69∴P′（，5），M′（，0）
55
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M 19．（广西玉林、防城港）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC
k
∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．
x
（1）填空：双曲线的另一支在第_________象限，k的取值范围是_______________； （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分面积S最小？ （3）若
OD1
＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式． OC2
y A D O C E B x 解：（1）三，k＞0
kk（2）由C（2，2），则A（，2），E（2，）
22
1kk1k13
∴S＝S△AEC＋S△OBE＝(2－)(2－)＋×2×＝(k－2)2＋ 2222282
当k＝2时，即E（2，1）为BC中点时，S最小
kOD111
（3）方法一：令C（a，b），则A（，b），由＝，则D（a，b）
bOC222
1k1
又S△OAC＝(a－)·b＝(ab－k)＝2
2b2
∴ab＝4＋k
11k
∵D（a，b）在双曲线y＝上
22x
114∴k＝ab＝(4＋k)，∴k＝
443
∴双曲线解析式为y＝
4
3x
方法二：令D（a，b），由
OD1k
＝，则C（2a，2b），A（，2b） OC22b
1k1
又S△OAC＝(2a－)·2b＝(4ab－k)＝2
22b2
1
∴ab＝(4＋k)
4
k
∵D（a，b）在双曲线y＝上
x
14
∴k＝ab＝(4＋k)，∴k＝
43
∴双曲线解析式为y＝
4
3x
k2
20．（福建厦门）已知点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点．
x
（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM．若AM＝BM，求点B的坐标；
k2PN
（2）设点P在线段AB上，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，并交双曲线y＝（k2＞0）于点N．当取
xNE
1
最大值时，有PN＝，求此时双曲线的解析式．
2
k2
解：（1）∵A（1，c）和点B（3，d）在双曲线y＝（k2＞0）上
x
∴c＝k2＝3d
∵k2＞0，∴c＞0，d＞0，∴点A和点B都在第一象限 ∴AM＝3d
过点B作BT⊥AM，垂足为T，则BT＝d，MT＝2 ∵AM＝BM，∴BM＝3d
在Rt△BMT中，MT 2＋BT 2＝BM 2 2
∴4＋d＝9d，∴d＝（舍去负值）
2
2
2
y A B O M T x
2
∴点B的坐标为（3，）
2
k2
（2）方法一：∵点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点
x
∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b 14
∴k1＝－k2，b＝k2
33
∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限 ∴
PEk1x＋bk12b1414＝＝x＋x＝－x2＋x＝－(x－2)2＋ NEk2k2k23333
x
y A P N O E B C x ∵当x＝1或x＝3时，又∵当x＝2时，
PE＝1 NE
PE4
的最大值是 NE3
PE4
∴1≤≤，∴PE≥NE
NE3
PNPE－NEPE124∴＝＝－1＝－x＋x－1 NENENE33
∴当x＝2时，
PN1
的最大值是 NE3
13
∵此时PN＝，∴NE＝ 22
3
∴N（2，），∴k2＝3
2
3
∴此时双曲线的解析式为y＝
x
方法二：∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限 ∴
PEk1x＋bk12b＝＝x＋x NEk2k2k2
x
当点P与点A、B重合时，即当x＝1或x＝3时，
k1b＋＝1k2k2
PE＝1 NE
PE
＝1 NE
∴ 解得：9k3b4
＋＝1b＝kk3k
1
k1＝－k2
3
1
2
2
2
∴
PE14＝－x2＋x NE33
∵k2＝－3k1，k2＞0，∴k1＜0
k1(x－1)(x－3)x2－4x＋3k23k1∵PE－NE＝k1x＋b－＝k1x－4k1＋＝k1()＝
xxxx
k1(x－1)(x－3)
∵当1≤x≤3时，(x－1)(x－3)≤0，∴≥0
x
∴PE－NE≥0
∴
PNPE－NEPE124112
＝＝－1＝－x＋x－1＝－(x－2)＋ NENENE3333
∴当x＝2时，
PN1
的最大值是 NE3
13
∵此时PN＝，∴NE＝ 22
3
∴N（2，），∴k2＝3
2
3
∴此时双曲线的解析式为y＝
x
k2
方法三：∵点A（1，c）和点B（3，d）是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝（k2＞0）的交点
x
∴c＝k2,，3d＝k2，c＝k1＋b，d＝3k1＋b k2＝3d，k1＝－d，b＝4d ∴直线y＝－dx＋4d，双曲线y＝
3d x
∵点A（1，c）和点B（3，d）都在第一象限，∴点P在第一象限
d(x－1)(x－3)x2－4x＋33d
∴PN＝PE－NE＝－dx＋4d－＝－d()＝－ xxx
∵当1≤x≤3时，(x－1)(x－3)≤0，∴－
d(x－1)(x－3)
≥0
x
∴PN＝PE－NE≥0
∴
PN＝NE
－dx＋4d－
3dx
3dx
1411＝－x2＋x－1＝－(x－2)2＋ 3333
∴当x＝2时，
PN1
的最大值是 NE3
13
∵此时PN＝，∴NE＝ 22
3
∴N（2，），∴k2＝3
2
3
∴此时双曲线的解析式为y＝
x
k2
21．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝（x＞0）的图象
x
相交于B、C两点． （1）若B（1，2），求k1·k2的值；
（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）把B（1，2）代入y＝
y A B C O x k2
，得k2＝2 x
b＝3b＝3把A（0，3），B（1，2）代入y＝k1x＋b，得 解得 k1＋b＝2k1＝－1
∴k1·k2＝－2
（2）k1·k2＝－2
过点B作BG⊥y轴于点G，过点C作CH⊥y轴于点H ∴BG∥CH
∵AB＝BC，∴AG＝GH，∴CH＝2BG k2k2
设B（m，），则C（2m，）
m2m
y A G H O B C x k2k2k2
∴AG＝3－，GH＝－ mm2m
k2k2k2k2k2
∴3－＝－，∴m＝，∴B（，2）
mm2m22
k2k2
把B（，2）代入y＝k1x＋3，得2＝k1·＋3
22
∴k1·k2＝－2
1k
22．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于A、
2x
B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E． （1）若OE·CE＝12，求k的值；
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD； （3）在（1）（2）的条件下，EF＝5，AB＝25，P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．
y y
y D D A A A D
B O E 图1 F C x O E 图2 B C x F O E 备用图 B C x 1
解：（1）设OE＝a，则A（a，－a＋m）
2y 1
∵点A在反比例函数图象上，∴a(－a＋m)＝k
2
1D M A 即k＝－a2＋am N 2
1B 由直线y＝－x＋m可得C（2m，0），∴CE＝2m－a F 2
∴OE·CE＝a(2m－a)＝－a2＋2am＝12 O E C 111
∴k＝－a2＋am＝(－a2＋2am)＝×12＝6
222
（2）连接AF、BE，过E、F分别作FM⊥AB，EN⊥AB，则FM∥EN ∵AE⊥x轴，BF⊥y轴，∴AE⊥BF
1k1k
S△AEF＝AE·OE＝，S△BEF＝BF·OF＝
2222
y ∴S△AEF＝S△BEF，∴FM＝EN，∴四边形EFMN是矩形 ∴EF∥CD
（3）由（2）可知，EF＝AD＝BC＝5 D M A N 又AB＝25，∴CD＝45
1B 由直线y＝－x＋m可得OD＝m，OC＝2m，∴OD＝4 F 2
又EF∥CD，∴OE＝2OF，∴OF＝1，OE＝2 x O E P C ∴DF＝3，∴AE＝DF＝3
∵AB＝25，∴AP＝10，∴EP＝1 ∴P（3，0）
x
1k
23．（上海模拟）已知点P是函数y＝x（x＞0）图象上一点，PA⊥x轴于点A，交函数y＝（x＞0）图
2x
k
象于点E，PB⊥y轴于点B，交函数y＝（x＞0）图象于点F．
x
（点E、F不重合）
（1）求证：EF∥AB；
（2）若k＝1，试问：△OEF能否为直角三角形？若能，请求出 此时点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）设P（2a，a）（a＞0），则A（2a，0），B（0，a），E（2a，k
2a1PAa1PE
∴＝＝，＝＝ PB2a2PFk2
2a－
a
y B F P E O A x kk），F（，a） 2aa
a－
∴
PEPA
＝，∴EF∥AB PFPB
（2）设P（2a，a），∵k＝1，∴A（2a，0），B（0，a），E（2a，∴OE 2＝4a 2＋
11
），F（，a） 2aa
21112152222
，OF＝a＋，EF＝2a－＋－a＝5a＋－5 ()()
a2a4a 2a 24a 2
易知∠EOF＜90°
当∠OEF＝90°时，有OE 2＋EF 2＝OF 2 ∴4a 2＋当a＝∴a＝
1512222
＋5a＋－5＝a＋，解得a＝，a＝ 12
424a 24a 2a 2
222
），F（2，），此时点E、F重合，不合题意，舍去 时，E（2，222
222
，∴P（，） 424
同理当∠OFE＝90°时，可得a＝2，∴P（22，2） 综上所述，当点P为（
22
，）或（22，2）时，能使△OEF为直角三角形 24
24．（广东模拟）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，1
边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分
x
1
别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要
3
明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
11
（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）；
ab
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证1
明∠MOB＝∠AOB；
3
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
解：（1）设直线OM的函数关系式为y＝kx 111∵P（a，）、R（b，），∴M（b，）
aba
y A P S Q R B x M O H 11
∴k＝÷b＝ aab
∴直线OM的函数关系式为y＝
1
x ab
11
（2）由题意知点Q的坐标为（a，），满足y＝x
bab
∴点Q在直线OM上
1
易知四边形PQRM是矩形，∴SP＝SQ＝SR＝SM＝PR
2
∴∠SQR＝∠SRQ
1
∵PR＝2OP，∴PS＝OP＝PR，∴∠POS＝∠PSO
2
∵∠PSQ是△SQR的一个外角
∴∠PSQ＝2∠SQR，∴∠POS＝2∠SQR
∵QR∥OB，∴∠SOB＝∠SQR，∴∠POS＝2∠SOB 1
∴∠MOB＝∠AOB
3
（3）以下方法只要回答一种即可
方法一：先把钝角平分为两个锐角，再利用上述结论把锐角三等分
方法二：先把钝角分为一个直角和一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分，再利用作等边三角形（或其它方法）将直角三等分
11
方法三：若设所给钝角为α，则先把钝角的补角（锐角）三等分，得角(180°－α)，即60°－α，然后利
33
1
用作等边三角形作一个60°的角，从中去掉60°－α即可
3
6
25．（四川德阳）已知一次函数y1＝2x＋m的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且当x＞1
x
时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2． （1）求一次函数的解析式；
（2）若反比例函数在第一象限的图象上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积；
（3）在直线AB上是否存在一点P，使△AOP∽△AOB，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
y A O x
B 解：（1）∵当x
＞1时，y1＞y2；当0＜x ＜1时，y1＜y2 ∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，得y2＝6
＝
1
6
∴A（1，6）
又∵点A在一次函数y1＝2x＋m的图象上 ∴2＋m＝6，∴m＝4
∴一次函数的解析式为y1＝2x＋4
（2）由题意知点C的横坐标为3，代入反比例函数解析式 得y2＝6
3
＝2，∴C（3，2）
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2 ∴2x＋4＝2，∴x＝－1，∴D（－1，2） ∴CD＝4
由y＝2x＋4x1＝1x2＝
y＝6
解得
－3
y 1＝6y2＝－2 x
∴B（－3，－2）
S11
△ABC
＝S△ACD
＋S△BCD
＝
2 CD·( yA－yB )＝ 2
×4×( 6＋2
)＝16
（3）假设存在一点P，使△APO∽△AOB
∵点P在直线y＝2x＋4上，∴可设P（a，2a＋4） ∵△APO∽△AOB，∴
AP
AO
AO
＝
AB
∵AP＝(a－1)2＋(2a＋4－6)2＝5(a－1)2
AO＝12
＋62
＝37，AB＝(
1＋3
)2＋(
6＋2
)2＝45
2
∴
5(
a－1
) ＝ 37
37 45
，即a－1＝±37
20
∴a＝
57
20（不合题意，舍去），或a＝－17
20
∴P点的坐标为（－17
20 ，23
10
）
y A D C O x B y A P O x B 26．（四川某校自主招生）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，n），C（m，0），双曲线y＝
12
（x＞0）x
与矩形OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE，将△BDE沿DE翻折后得到△B′DE． 探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B′ 又恰好落在线段OD上．证明：OE平分∠DOC； 探究二：如图3，若OE平分∠DOC，当四边形DB′EB是正方形时，求矩形OABC的面积；
4
探究三：如图4，若点D在直线y＝x上，是否存在m的值使B′ 点落在x轴上，若存在，求出点E的坐
3
标；若不存在，请说明理由． y A D B B′ E O C x 图1 y A D B BE O C x 图3
解：探究一：由题意知，D（12 m，24），E（m，12
）
m
m
∴B（m，24241212
m），∴BE＝
m － m ＝ m
＝CE
∵B′E＝BE，∴B′E＝CE
∵∠DB′E＝∠B＝90°，∴∠OB′E＝90°＝∠OCE 在Rt△OB′E和Rt△OCE中
B′E＝CE，OE＝OE，∴Rt△OB′E≌Rt△OCE ∴∠B′OE＝∠COE，即OE平分∠DOC
探究二：由题意知，B（m，n），D（1212
n ，n），E（m，）
m
∵四边形DB′EB是正方形，∴BD＝BE ∴m－
12
n
＝n－1212
m ，∴( m－n )( 1－ mn
)＝0
∴m－n＝0或1－
12
mn
＝0
当1－12
mn
＝0，即mn＝12时，点B在双曲线上，舍去
∴m－n＝0，即m＝n，∴矩形OABC是正方形
y A D B BE O C x 图2 y A D B E O B′ C x 图4 y A D B BE O C x 图2 y A D B BE O C x 图3 ∴AB＝BC，∴AD＝CE
∴Rt△OAD≌Rt△OCE，∴∠AOD＝∠COE
∵∠DOE＝∠COE，∴∠AOD＝∠DOE＝∠COE ∴∠COE＝30°，∴OC＝3CE 即m＝3×
12
，∴m2＝123
m
即正方形OABC的面积是123
4
探究三：联立y＝ 3x x＝－3x＝3
y＝12 解得y＝－4（舍去）或y＝4
x
∴D（3，4） ∴BD＝m－3，BE＝4－
12
m
∴
BD
＝
m
，即
B′D
m
BE
4
B′E
＝
4
过点D作DF⊥OC于F 易证Rt△B′DF≌Rt△EB′C，∴
DF
＝
B′F
B′D
m
B′C
EC
＝
B′E
＝
4
∴
4
B′C
＝
m
4
，∴B′C＝16 ，∴B16
m ′F＝m－3－
m
16
m－3－
∴
m
12
＝
m
，解得m1＝－2（舍去），m2＝8
4
m
∴存在m的值使B′的坐标为（8，3
点落在x轴上，此时点E）
2
y A D B E O F B′ C x 图4
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