天门市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合A{2,1,1,2,4}，B{y|ylog2|x|1,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 2． 以椭圆
+
=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2，已知点M坐标为
=
，则
﹣S
B（ ）
A．{2,1,1} B．{1,1,2} C．{1,1} D．{2,1}
（2，1），双曲线C上点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）满足（ ）
A．2 B．4 C．1 D．﹣1
3． 设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（ ）
A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间
C．m=±1 D．最小值为﹣3
4． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2
5． 函数 y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是（ ） A．[1，6]
B．[﹣3，1]
C．[﹣3，6]
D．[﹣3，+∞）
6． 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 7． 下列命题正确的是（ ）
22A．已知实数a,b，则“ab”是“ab”的必要不充分条件
2B．“存在x0R，使得x010”的否定是“对任意xR，均有x10”
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精选高中模拟试卷
13xC．函数f(x)x()的零点在区间(,)内
121132D．设m,n是两条直线，,是空间中两个平面，若m,n，mn则
8． 已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等于（ ）
A．2017 B．﹣8 C．
D．
9． “x≠0”是“x＞0”是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知在△ABC中，a=
，b=
，B=60°，那么角C等于（ ）
A．135° B．90° C．45° D．75°
11．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
8A. 316C. 3
B．4 20D． 3
是（ ） m⊥l，则m⊥β
12．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误 的A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若
二、填空题
13．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足
，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：
①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；
③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；
④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;
⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。
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其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
14．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 15．计算：
1
×5﹣= ．
16．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ． 17．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
18．方程22x﹣1=的解x= ．
三、解答题
19．已知函数
（1）求f（x）的周期和及其图象的对称中心；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
20．BD为圆O的任意两条直径，CF是圆O所在平面的两条垂线，如图，已知AC，直线AE，且线段AE=CF=AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．
，
．
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21．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．
（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程； 边形ABCD面积的最小值．
22．设函数f（x）=lnx﹣ax+
﹣1．
（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；
2
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x﹣2bx﹣
，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）
成立，求实数b的取值范围．
23．已知函数f（x）=loga（x2+2），若f（5）=3； （1）求a的值； （2）求
的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
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24．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
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天门市第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】当x{2,1,1,2,4}时，ylog2|x|1{1,1,0}，所以A2． 【答案】 A
【解析】解：∵椭圆方程为
+
=1，
B{1,1}，故选C．
∴其顶点坐标为（3，0）、（﹣3，0），焦点坐标为（2，0）、（﹣2，0）， ∴双曲线方程为
，
设点P（x，y），记F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵∴
=，
整理得：
化简得：5x=12y﹣15， 又∵∴5
解得：y=或y=∴P（3，），
∴直线PF1方程为：5x﹣12y+15=0， ∴点M到直线PF1的距离d=
易知点M到x轴、直线PF2的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F1PF2的内心． 故
﹣
=
=
=2，
=1，
，
2
﹣4y=20，
=，
=5，
（舍），
故选：A．
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【点评】本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
3． 【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数， 则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f（x）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B， 故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
4． 【答案】A
2
【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，
可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，
2
所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，
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函数的最大值为：5． 故选：A．
【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．
5． 【答案】C
22
【解析】解：y=x﹣4x+1=（x﹣2）﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 故选C
2
∴函数 y=x﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置 关系，仔细作答
6． 【答案】B
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数， ∴所求概率为故选B．
7． 【答案】C 【解析】
．
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断pq,qp的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 8． 【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
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∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即f（x+4）=f（x）， 即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）， ∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x， ∴f（1）=f（﹣1）=， ∴a2017=f（1）=， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
9． 【答案】B
【解析】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立． 当x＞0时，一定有x≠0成立， ∴“x≠0”是“x＞0”是的必要不充分条件． 故选：B．
10．【答案】D
【解析】解：由正弦定理知∴sinA=∵a＜b， ∴A＜B， ∴A=45°，
∴C=180°﹣A﹣B=75°， 故选：D．
11．【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面
120
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V＝23－×2×2×1＝，故选D.
3312．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行
证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
=
×
=
，
=
，
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B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面； C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D选项中的命题是错误的 故选D
二、填空题
13．【答案】①④⑤
解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴
•
=m
①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；
②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确； ③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|
|+|
|≥2
=2
，所以△PMN周长的最小值为2
+4，正确；
⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤． 14．【答案】12 【解析】
|•|
|=m（m≥4），
考
点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键． 15．【答案】 9 ．
【解析】解：
1×5﹣=
×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，
∴1
×5﹣=9，
故答案为：9．
16．【答案】 a≤﹣1 ．
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2
【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，
2
若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，
则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．
17．【答案】
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
121
故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx
．
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．
18．【答案】 ﹣ ．
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【解析】解：2∴2x﹣1=﹣2， 解得x=﹣， 故答案为：﹣
2x﹣1
=
=2﹣2，
【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由由
，故f（x）图象的对称中心为
，∴f（x）的周期为4π．
．
（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0， ∴
故函数f（A）的取值范围是
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD， ∵直线AE是圆O所在平面的垂线， ∴AD⊥AE， ∵AB∩AE=A， ∴AD⊥平面ABE， ∴AD⊥BE；
（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC． ∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线， ∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC． ∵AE=CF=∵AC=2， ∴SAEFC=2
，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
，∴AEFC为矩形，
．∴．
，
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∴V=2VB﹣AEFC=2×≤=．
．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
21．【答案】 【解析】解：（1）设切点由
．
，
，知抛物线在Q点处的切线斜率为
．
故所求切线方程为
2即y=x0x﹣x0．
因为点P（0，﹣4）在切线上． 所以
，
，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0． 因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1． 点A，C的坐标满足方程组得x﹣4kx﹣4=0，
2
，
，
由根与系数的关系知|AC|=
=4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
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同理可求得|BD|=4（1+SABCD=|AC||BD|=当k=1时，等号成立．
），
=8（2+k2+
）≥32．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分） （Ⅱ）
=
，
（2分）
（6分）
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2 故当
时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）.
时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，
（9分）
（Ⅲ）当
∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=
若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值又
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，②当0≤b≤1时，
，
（12分）
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
此时b＞1（11分） 综上，b的取值范围是
，由
（*） （10分）
，x∈[0，1]
与（*）矛盾 及0≤b≤1得，
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【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3， ∴
即loga27=3 解锝：a=3… （2）由（1）得函数则即为化简不等式得
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且
22
∴x+2＜x+4x+6…
，
， …
…
的定义域为R．
=
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即4x＞﹣4， 解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴由2k
≤+
≤2kπ
sincos+cos2=sin（+，k∈Z可解得：4kπ﹣
，4kπ
）
，
，k∈Z，
≤x≤4kπ]，k∈Z．
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣（Ⅱ）∵f（A）=sin（+
）
，
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB， ∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0， ∴cosB=，又0＜B＜π， ∴B=
．
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∴可得0＜A＜∴∴
＜+
＜
， ， ）＜1，
sin（+
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
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