合理构造可导函数研究抽象函数性质

根据函数条件，结合导数的公式，构造函数，利用函数的导数研究函数的单调性，进而研究函数的性质. 导数常见的构造 一、关系式为“加”型

1．对于f'xg'x0，则构造hx[fxgx]=f'xg'x 2. 对于f'xgxf(x)g(x)0 , 则构造hx[fxgx] 3．对于f'xfx0，则构造hx[exfx]=ex[fxf(x)] 4．对于xf'xfx0，则构造hx[xfx]=[xfxf(x)]

5. 对于xf'xnfx0，则构造hx[xnfx]=xn1[xfxnf(x)]

二、关系式为“减”型

1．对于f'xg'x0，则构造hx[fxgx]=f'xg'x 2. 对于f'xgxf(x)g(x)0 , 则构造hx[3．对于f'xfx0， 则构造hx[4．对于xf'xfx0，则构造hx[fx] gxf(x)fxf(x)= ]xxeef(x)xfxf(x) ]=

xx2f(x)xfxnf(x)= ]nn1xx5．对于xf'xnfx0， 则构造hx[三、关系式为“三角函数”型

1. 对于cosxfxsinxf(x)0 , 则构造hx[sinxfx] 2. 对于sinxfxcosxf(x)0 , 则构造hx[cosxfx] 3. 对于sinxfxcosxf(x)0 , 则构造hx[sinxfxcosxf(x)fx ]=

(sinx)2sinxcosxfxsinxf(x)fx ]=2(cosx)cosx4. 对于cosxfxsinxf(x)0 , 则构造hx[二、典型例题

例1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集

变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x0时，

f'(x)g(x)f(x)g'(x)0，g(3)0，求不等式f(x)g(x)0的解集.

例2.已知函数f(x)为定义在R上的可导奇函数，且f(x)f'(x)对于任意xR恒成立，且f（3）=e，则

变式：设f(x)是R上的可导函数，且f'(x)f(x)，f(0)1，f(2)的值.

f(x)ex1的解集为

1.求f(1)2e

例3．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足若

f(x)ax，且f'(x)g(x)f(x)g'(x)，g(x)f(1)f(1)5，求关于x的不等式logax1的解集. g(1)g(1)2

变式： 已知函数y=（x）对任意x∈（−2，2）满足cosxfxsinxf(x)0，

π

π

则下列不等式一定成立的是（ ）

A. √2f(−)<𝑓(−) B. √2f()<𝑓() C. f(0)<2f() D. f(0)<√2f()

π3

π4

π3

π4

π3

π4

三、课后练习与提高

1．若f(x)、g(x)分别是定义在R上的可导函数，若f'(x)g'(x)，则（ ） A. f(x)=g(x) B. f(x)-g(x)为常数函数

C. f(x)g(x)0 D. f(x)+g(x)为常数函数

2.设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f(x)g(x),则当axb 时，有（ ） A．f(x)g(x)

B．f(x)g(x)

C．f(x)g(a)g(x)f(a) D．f(x)g(b)g(x)f(b)

3．函数f(x)的定义域为R，f(-2)=2015，对任意x∈R，都有f'(x)<2x成立，则不等式f(x)> x2+2011的解集为（ ）

A. （-2,2） B. （-2，+∞） C. （-∞，-2） D. （-∞，+∞）

4.f(x)是定义在（-∞，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若ab，则必有（ ）

A. bf(b) ≤af(a) B. af(a) ≤bf(b)

C.af(a) =bf(b) D. af(a)与 bf(b)大小不确定

5.f(x)是定义在（-∞，+∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0,对任意正数a,b,若ab，则必有（ ）

A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)

''6.定义在R上的函数f(x)，其导函数fx满足fx1，且f23，则关

于x的不等式fxx1的解集为