安徽省淮北市濉溪县2010届高三第三次月考数学(理科)卷

濉溪县2010届高三第三次月考

理科数学试卷

题 号 得 分 一 二 三 总 分 一、选择题．本题共有10道小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，选出你认为正确的答案代号填入本大题最后的相应空格内． 1、“|x1|<1成立”是“x(x3)<0”成立的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

2、已知集合A =

，B =

，R是实数集，则 (CB)∩A 等于

A、R B、(1，2] C、[0，1] D、Φ 3、在复平面内，复数A、1 B、4、使奇函数A、5、以围是

A、d >

B、

C、

对应的点与原点的距离是 C、2 D、2

在[

，0]上为减函数的等于

D、

为首项的等差数列，当且仅当n = 10时，其前n项和最小，则公差d的取值范

B、的夹角为

6、连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量 = (m，n)与向量，

则∈(0，] 的概率是 A、

B、 C、

D、

7、、为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a∥、b；②a⊥ 、b∥ ；③a⊥、b⊥；④a∥、b∥且a与的距离等于b与的距离．其中是a⊥b 的充分条件的有

A、①④ B、① C、③ D、②③ 8、已知椭圆长轴

右端点为A，若A、

B、

，则椭圆的离心率为

C、 D、

(a>b>0)的短轴端点分别为B、B，左、右焦点分别为F、F，

- 1 -

9、函数数

的定义域为D，若对于任意x、x∈D，当x< x时，都有≤，则称函

在D上为非减函数．

设函数①则

在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：

=

； ③

= 1

．

= 0； ② +

等于( A )

A、 B、 C、1 D、

10、如图(1)，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA =3，PB =2，PC=1．设 M是底面ABC内一点，定义

=(m，n，p)，

其中m、n、p分别是三棱锥M—PAB、三棱锥 M — PBC、三棱锥M — PCA的体积，若=

，且

恒成立，则正实数a的最小值为

A、1 B、2 C、3 D、4 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题．本题有5道小题，每小题5分，共25分．把最简结果填在题中的横线上． 11、不等式

的解集是

．

，且

，

12、B、C所对的边分别是a、b、 c，在△ABC中，角A、若

则△ABC的面积等于． 13、已知x、y、z满足

，则z = 2x + 4y的最小值为

．

14、将正偶数按下表排成5列：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 … … … … …

行 ，第则2010在第列．

15、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按 图(2)所标边长，由勾股定理有：．设想正方形换成正方体，把截线换成如

- 2 -

图(3)的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用s、 s、s表示三个侧面面积， s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．

三、解答题．本题共有6道小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证

明过程．

16、(本题满分12分)

已知命题p：不等式|x|+|x1|>m的解集为R．命题q：q

为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围． [解]

17、(本题满分12分) 已知函数

，且给定条件p：“≤x≤”．

是减函数．若p或

(1)求的最大值及最小值； (2)若又给条件q：“”，且 p是q的充分条件，求实数m的取值范围． [解]

- 3 -

18、(本题满分12分)

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ(美元)与其重量ω(克拉) 的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． (1)写出υ关于ω的函数关系式；

(2)若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

(3)试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切 割，价值损失的百分率最大． (注：价值损失的百分率 = 忽略不计) [解]

19、(本题满分12分) 设A(x，y)、B(x，y) 是椭圆且满足· = 0，椭圆的离心率e =

(a > b > 0) 上的两点，

，短轴长为2，O为坐标原点．

， = (

，)，

×100％；在切割过程中的重量损耗

(1)求椭圆的方程；

(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)， 求直线AB的斜率k的值．[解]

- 4 -

20、(本题满分13分)

已知各项均为正数的等差数列列

，其前n项和S满足10S = a + 5a + 6；等比数

满足

．

满足b = a，b = a，b = a；数列(1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和T． [解]

- 5 -

21、(本题满分14分) 如图，已知二次函数，直线l：x = 2，直线l：y = 3tx(其中1< t < 1， t为常数)；若直线l、l与函数的图象所围成的封闭图形如图(5)阴影所示． (1)求y = ；

(2)求阴影面积s关于t的函数s = u(t)的解析式；

(3)若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线s=u(t)(t∈R)的三条切线，求实数m的取值范围． [解]

濉溪县2010届高三第三次月考理科数学试卷参考答案

一、选择题：１—5 ABCBDB 6—10 CCDAA

{x|x3或x1}；二、填空填：11、12、23；13、﹣6；14、252；4；15、S1S2S3S4．

- 6 -

2222

三、解答题：16、[解]∵|x|+|x−1|≥1，∴若p成立，则m<1； ……………………………2分

又若q成立，则5−2m>1，解得m<2，…………………………………………………4分 由已知p或q为真命题，p且q为假命题得：p、q一真一假． ……………………6分

当p真q假时，有m1，解得m∈Φ； ……………………………………………8分

m2m1当p假q真时，有，解得1≤m<2， …………………………………………11分

m2综上可得，m的得取值范围是m|1m2． ……………………………………12分 17、[解] (1)f(x)=2[1－cos(

=4sin(2x∵

2x)]－23cos2x－1=2sin2x－1 24≤x≤max∴fx，∴3≤4sin2x1≤5，

326335，fxf3， …………………………………………………8分 f5min，∴

≤2x≤64)+1， ………………………………………………………………………4分 32(2)由fxm2得：m2fxm2，

m23∵p是q的充分条件，∴3m5． …………………………………12分

m252

18、[解] (1)依题意设v=kω， ………………………………………………………………2分

又当ω=3时，v=54000，∴k=6000，……………………………………………………3分

2

故v =6000ω． ……………………………………………………………………………4分 (2)设这颗钻石的重量为a克拉，

由(1)可知，按重量比为l∶3切割后的价值为

6000(

123a)+6000(a)2． ……………………………………………………………… 6分 44123a)+6000(a)2]． ……………………………………………………7分 44价值损失为 6000a２一[6000(

136000a2[6000(a)26000(a)2] 价值损失的百分率为440.37537.5%6000a2答：价值损失的百分率为37.5％． ……………………………………………………8分 (3)若把一颗钻石按重量比为m∶n切割成两颗，价值损失的百分率应为

1[(m2n22mn)()]，…………………………………………………10分 mnmn(mn)22(mn2)1， …………………………………………………………11分 又2mn2(mn)2(mn)22等号当且仅当m=n时成立.

- 7 -

即重量比为1∶1时，价值损失的百分率达到最大．…………………………………12分

ca2b2319、[解] (1)2b2,b1,ea2,c3， ……………………4分

aa2y2x21； …………………………………………………………5分 椭圆的方程为：4(2)设AB的方程为ykx3，

ykx3由(k24)x223kx10， ………………………………………7分 y22x14x1x223k1，………………………………………………………8分 ,xx1222k4k4x1x2y1y21k2由已知0mn22x1x2（kx13)(kx23)(1)x1x2

ba443k3k2413k23k3， ………………………………10分

(x1x2)(2)444k44k244解得k2． …………………………………………………………………………12分 20、[解](1)∵10Sn＝an2＋5an＋6，………………………………………① ∴10a1＝a12＋5a1＋6．

解之，得a1＝2，或a1＝3． ……………………………………………………………2分 又10Sn－1＝an－12＋5an－1＋6（n≥2），………………………………②

由①－②，得 10an＝(an2－an－12)＋6(an－an－1)，即(an＋an－1)(an－an－1－5)＝0． ∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝5（n≥2）． ………………………………………………5分 当a1＝3时，a3＝13，a15＝73．a1， a3，a15不成等比数列，∴a1≠3． 当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，有 a32＝a1a15．

－

∴数列{bn}是以6为公比，2为首项的等比数列，bn＝2×6n1． ……………………8分

－

（2）由（1）知，an＝5n－3 ，cn＝2（5n－3）6n1．

－

∴Tn＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋(5n－3)6n1]， 6 Tn＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n－3）6n]，

－

∴－5 Tn＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n1] ＋4－2(5n－3)6n

106(16n1)＝＋4－2(5n－3)6n＝(8－10n)6n－8．…………………………………12分

168(810n)6n∴Tn＝．…………………………………………………………………13分

5521、[解](1)由图可知二次函数的图象过点(0，0)，(1，0)，

则f(x)ax(x1)，又因为图象过点(2，6)，∴6=2a，a3， ………………3分

2∴函数f(x)的解析式为f(x)3x(x1)3x3x； …………………………4分

- 8 -

y3x23x(2)由得x2(1t)x0,x10,x21t，

y3tx1t1,∴直线l2与f(x)的图象的交点横坐标分别为0，1t， ……………6分

t222由定积分的几何意义知：s(t)10[3tx(3x3x)]dx1t[(3x3x)3tx]dx

[3(1t)23(1t)22xx3]|t01[x3x]|t1(1t)326t,1t1，………8分 22∵曲线方程为s(t)(1t)326t,tR,s'(t)3(1t)26,

∴点A(1,m),m4不在曲线上，设切点为，则点M(x0,y0)的坐标满足：

y0(1x0)326x0,因s'(x0)3(1x0)26，故切线的斜率为：

(1x0)36x02m3，整理得2x03(1x0)66x0m0，……………10分

x0123∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，∴关于x0方程2x06x0m0有三个实根． 32设g(x0)2x06x0m，则g'(x0)6x06，由g'(x0)0得x01，

∵当x0(,1)(1,)时，g'(x0)0g(x0)在(,1),(1,)在上单调递增，

∵当x0(1,1)时，g'(x0)0,g(x0)在(1,1)上单调递减．

3∴函数g(x0)2x06x0m的极值点为x01， ………………………………12分

3∴关于x0当成2x06x0m0有三个实根的充要条件是g(1)0，

g(1)0解得4m4，故所求的实数m的取值范围是4m4，……………………14分

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