注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共12小题）. 1．的绝对值是（ ） A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式组A．x≥﹣2
的解集为（ ） B．﹣2＜x＜3
C．x＞3
D．﹣2≤x＜3
4．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝DC，AB＝AC C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC D．∠B＝∠C，BD＝DC
5．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为
，则输出结果应为
（ ）
A．8 B．4 C． D．
6．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反
数
，
则
b
等
于
（
）
A．﹣30 B．﹣23 C．23 D．30
7．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（2，m），则不等式＞3的解集是（ ）
A．x＞2 C．x＞0
B．0＜x＜2
D．x＜﹣3或0＜x＜2
8．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ） A．1558
B．1550
C．1508
D．20
9．如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
11．如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，∠C＝90°，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点，若△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，则此时PC长为（ ）
A． B．2 C． D．
12．C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题：本题共5小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13．tan60°的值等于 ．
14．用a，b，c表示二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数且a≠0）的顶点坐标为（ ， ）． 15．若方程mx+ny＝6有两个解
和
，则m+n的值为 ．
16．如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 ．
17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝2时，r2021＝ ．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．解方程：＝
．
19．已知在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
2.75%、3.5%、10%、20%，（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、
求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
21．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶sin71.6°端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）
（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度． （2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．
22．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E． （1）求k的值；
（2）连接CD，求△ACD的面积；
（3）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
23．已知：AB，CD都是⊙O的直径，点E为（1）如图1，求证：AB⊥CD；
上一点，连接BE，CE，且∠BEC＝45°．
（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点A作AG⊥CE，垂足为点
G，交EF于点H，求证：AC＝EH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若∠DGE＝∠CAG，BE＝2
，求EH的
长．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，∠CAB＝60°，点E是线段AB上一动点，作EF∥AC交线段BC于点F． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，延长线段EF交抛物线第一象限的部分于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点坐标；
（3）如图2，M为射线EF上一点，且EM＝EB，将射线EF绕点E逆时针旋转60°，交直线AC于点N，连接MN，P为MN的中点，连接AP、BP，问：AP+BP是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题5分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分. 1．的绝对值是（ ） A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
【分析】根据绝对值的定义解决此题． 解：根据绝对值的定义，得故选：B．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
．
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．不等式组A．x≥﹣2
的解集为（ ） B．﹣2＜x＜3
C．x＞3
D．﹣2≤x＜3
【分析】分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集． 解：
解①得：x＞3， 解②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集为：x＞3． 故选：C．
，
4．如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝DC，AB＝AC C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC D．∠B＝∠C，BD＝DC
【分析】依据全等三角形的判定定理解答即可．
解：A、依据SSS可知△ABD≌△ACD，故A不符合要求； B、依据SAS可知△ABD≌△ACD，故B不符合要求； C、依据AAS可知△ABD≌△ACD，故C不符合要求； D、依据SSA可知△ABD≌△ACD，故D符合要求． 故选：D．
5．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为
，则输出结果应为
（ ） A．8
B．4
C．
D．
【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 解：故选：D．
6．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为3或﹣4时，输出的y值互为相反
数
，
则
b
等
于
（
）
＝
＝
A．﹣30 B．﹣23 C．23 D．30
【分析】由输入的x值为3或﹣4时输出的y值互为相反数，即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：依题意得：32﹣b＝﹣解得：b＝30． 故选：D．
，
7．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A（2，m），则不等式＞3的解集是（ ）
A．x＞2 C．x＞0
B．0＜x＜2
D．x＜﹣3或0＜x＜2
【分析】由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据图象即可求得．
解：∵点A在一次函数y＝x+1的图象上， ∴m＝2+1＝3，
∴点A的坐标为（2，3）．
由图象可知，不等式＞3的解集是0＜x＜2， 故选：B．
8．某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ） A．1558
B．1550
C．1508
D．20
【分析】由函数解析式以及x的取值范围，根据函数的性质求函数的最大值． 解：利润y与销售单价x之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∵﹣2＜0，15≤x≤22，
∴当x＝20时，y取得最大值，最大值1558，
故选：A．
9．如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处，则∠ADF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据折叠的性质得到AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE，推出△DAE的等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADE＝60°，求得∠ADF＝30°． 解：如图，连接AE，
∵把∠A沿DF折叠，点A恰好落在矩形的对称中心E处， ∴AD＝ED＝AE，∠ADF＝∠EDF＝∠ADE， ∴△DAE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADF＝30°， 故选：D．
10．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
【分析】根a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，求出a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，得出a2+a＝2022，把a2+2a+b变形后（a2+a）+（a+b）进行计算即可． 解：∵a、b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2022，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2022﹣1＝2021． 故选：B．
11．如图，Rt△ABC中，AC＝3，BC＝5，∠C＝90°，点G是AB上的一个动点，过点G作GF垂直于AC于点F，点P是BC上的点，若△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形，则此时PC长为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】依题意补全图形，判定△FPC是等腰直角三角形及△AFG∽△ABC，从而得比例式，设CP＝CF＝x，将相关线段的值或含x的代数式代入比例式，求解即可． 解：依题意补全图形，如图：
由题可知，GF⊥AC，△GFP是以GF为斜边的等腰直角三角形， 在Rt△ABC中，BC⊥AC， ∴GF∥BC，
∴∠GFP＝∠FPC＝45°， ∵∠C＝90°，
∴∠PFC＝∠FPC＝45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， 设CP＝CF＝x，则FP＝∵AC＝3， ∴AF＝3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABC，
x，GF＝
FP＝2x，
∴解得x＝
，即．
，
故选：A．
12．C为⊙O上的一点，CB⊥l于点B，如图，半径为1的⊙O与直线l相切于点A，则AB+BC的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】延长AB到点D，使BD＝BC，则AB+BC＝AD，当DC与⊙O相切于点C时，AD最大，则此时连接AO并延长交DC延长线于点E，则AE⊥AD，根据∠CDB＝45°，可得OC＝CE＝1，根据勾股定理可得OE的长，进而可得结论． 解：如图，延长AB到点D，使BD＝BC， 则AB+BC＝AD，
当DC与⊙O相切于点C时，AD最大， 则此时连接AO并延长交DC延长线于点E， 则AE⊥AD，
∵CB⊥l， ∴∠DBC＝90°， ∵BD＝BC， ∴∠CDB＝45°，
∵⊙O与直线l相切于点A，
∴OA⊥l， ∴∠OAD＝90°， ∴∠AED＝45°， 连接OC，则OC⊥DE，
在Rt△OCE中，OC＝CE＝1，根据勾股定理，得 OE＝
＝
，
． +1．
∴AD＝AE＝AO+OE＝1+则AB+BC的最大值是故选：C．
二、填空题：本题共5小题，满分15分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13．tan60°的值等于
．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值得出答案． 解：tan60°＝故答案为：
， ．
14．b，c表示二次函数y＝ax2+bx+cb，c为常数且a≠0）用a，（其中a，的顶点坐标为（ ﹣
，
）．
【分析】根据二次函数的性质填空即可．
解：用a，b，c表示二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数且a≠0）的顶点坐标为（﹣
，
，），
．
和
，则m+n的值为 12 ．
故答案为：﹣
15．若方程mx+ny＝6有两个解
【分析】根据题意得出关于m，n的等式进而求出答案． 解：由题意
，
①×2+②×3，得5m＝30，解得m＝6， 把m＝6代入①，得﹣12+3n＝6，解得n＝6， 所以m+n＝12． 故答案为：12．
16．如果一组数据5、8、a、7、4的平均数是a，那么这组数据的方差为 2 ．
【分析】先根据平均数的定义列算式求出a的值，再由方差的定义计算即可． 解：根据题意知解得a＝6，
所以这组数据为5、8、6、7、4，
则这组数据的方差为×[（5﹣6）2+（8﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝2， 故答案为：2．
17．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝2时，r2021＝ 2×32019 ．
＝a，
【分析】根据切线的性质和相似三角形的性质，求出r1，r2，r3，r4……根据数据所呈现的规律进行计算即可．
解：如图，设切点分别为A1，A2，A3…A2021，连接O1A1，O2A2，O3A3，… ∵sin30°＝＝
＝
＝
＝…＝
，
而OO1＝2r1，OO2＝OO1+O1O2＝3r1+r2， ∴
＝，
又∵r2＝2， ∴r1＝，
同理可求出r3＝6，r4＝18，r5＝54，… 于是r1＝，r2＝2，r3＝6，r4＝18，r5＝54，… ∴r2021＝×32020＝2×32019， 故答案为：2×32019．
三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．解方程：＝
．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：去分母得：x﹣2＝3x， 解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入得：x（x﹣2）≠0， ∴x＝﹣1是分式方程的解．
19．已知在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】直接利用平行线的判定方法得出AD∥BC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可． 【解答】证明：∵∠D＝∠DCE， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．
根据上面图表信息，回答下列问题：
（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为 72 °；
（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；
（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；
2.75%、3.5%、10%、20%，（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1%、求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．
【分析】（1）由60﹣79岁的人数及其所占百分比可得总人数，再用360°乘以40﹣59岁感染人数所占比例即可得；
（2）先求出20﹣39岁人数，再补全折线图； （3）利用频率估计概率即可得； （4）利用加权平均数的定义求解可得．
解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为9÷45%＝20（万人）， 扇形统计图中40﹣59岁感染人数对应圆心角的度数为360°×故答案为：20，72；
（2）20﹣39岁人数为20×10%＝2（万人）， 补全的折线统计图如图所示；
＝72°，
（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：
（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：
．
21．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶sin71.6°端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）
（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度． （2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．
＝0.675；
【分析】（1）作EH⊥AC于H，分别在Rt△ABC与Rt△AHE中，由正切定义解题； BC＝3.01xm，CD＝（2）在矩形EHCD中，分别求出BD＝BC+CD＝315m，（6.04x﹣36.24）m，最后根据线段的和差解题．
解：（1）作EH⊥AC于H，
则四边形EHCD是矩形， 在Rt△ABC中， ∵tan∠BAC＝
，
∴BC＝AC•tan71.6°＝3.01xm， 在Rt△AHE中， ∵tan∠EAC＝
，
∴CD＝EH＝AH•tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m； （2）设AC＝xm， ∵四边形EHCD是矩形， ∴DE＝CH＝6m，
∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m， ∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315， 解得：x＝39，
∴舰岛AC的高度为：39m．
22．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E． （1）求k的值；
（2）连接CD，求△ACD的面积；
（3）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．
【分析】（1）根据题意直接用待定系数法将A点代入即可得出答案；
（2）由题意先求出AC和DF，进而根据三角形面积公式进行计算即可得出答案； （3）由题意求出直线BC的解析式，可得E点的坐标，求出DE，OC，AC，即可利用梯形面积公式解决问题．
解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2）， ∴2＝， ∴k＝8； （2）如图，
∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，A（4，2）， ∴AC＝4，DF＝OC＝2， ∴S△ACD＝
，
（3）反比例函数的解析式为：y＝（x＞0）， ∵BD＝3OC， ∴BD＝3×2＝6， ∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为6，代入y＝，得：6＝，
解得：x＝， ∵B（
），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，令y＝0，得：3x+2＝0， 解得：x＝﹣， ∴E（∴DE＝∵AC∥DE， ∴S四边形ACED＝
23．已知：AB，CD都是⊙O的直径，点E为（1）如图1，求证：AB⊥CD；
（2）如图2，连接AC，过点E作EF⊥AC，垂足为点F，过点A作AG⊥CE，垂足为点G，交EF于点H，求证：AC＝EH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，若∠DGE＝∠CAG，BE＝2
，求EH的
．
上一点，连接BE，CE，且∠BEC＝45°．
），
＝2，
长．
【分析】（1）根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍即可得证；
（2）连接AE，证明AG＝EG，从而可证△ACG≌△EHG即可得AC＝EH；
（3）连接AD并延长，与CE延长线交于M，连接BC，过B作BN⊥CE于N，先证明BC＝AC＝AD＝DM＝DG，再利用tan∠BCN求出BC即可得答案．
解：（1）证明：∵∠BOC＝2∠BEC，且∠BEC＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∴AB⊥CD； （2）如答图1：
连接AE， ∵∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝90°， ∴∠AEC＝∠AOC＝45°， ∵EF⊥AC，AG⊥CE，
∴∠AGC＝∠AGE＝∠CFE＝90°， ∴∠GAE＝∠AEG＝45°， ∴AG＝EG，
∵∠CAG+∠ACG＝90°，∠HEG+∠ACG＝90°， ∴∠CAG＝∠HEG， ∴△ACG≌△EHG（ASA）， ∴AC＝EH； （3）如答图2：
连接AD并延长，与CE延长线交于M，连接BC，过B作BN⊥CE于N， ∵OC＝OD，OA⊥CD， ∴AC＝AD， 同理可得AC＝BC， ∵AB、CD是直径， ∴∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴∠CAG+∠GAM＝90°， 而∠M+∠GAM＝90°， ∴∠CAG＝∠M， ∵∠DGE＝∠CAG， ∴∠DGE＝∠M， ∴DG＝DM，
∵∠CAG+∠GAD＝90°，∠DGE+∠DGA＝90°，∠DGE＝∠CAG， ∴∠GAD＝∠DGA， ∴AD＝DG，
∴AC＝AD＝DM＝AM， 在Rt△ACM中，tanM＝
，
∵∠ACM+∠M＝90°，∠ACM+∠BCE＝90°， ∴∠BCE＝∠M， ∴tan∠BCE＝，
Rt△BEN中，∠BEN＝45°， ∴BN＝BE•sin45°＝而BE＝2∴BN＝2
， ，
＝，
BE，
在Rt△BCN中，tan∠BCN＝∴CN＝2BN＝4∴BC＝
， ＝10，
∴EH＝AC＝BC＝10．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，∠CAB＝60°，点E是线段AB上一动点，作EF∥AC交线段BC于点F． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，延长线段EF交抛物线第一象限的部分于点G，点D是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点坐标；
（3）如图2，M为射线EF上一点，且EM＝EB，将射线EF绕点E逆时针旋转60°，交直线AC于点N，连接MN，P为MN的中点，连接AP、BP，问：AP+BP是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法进行解答即可；
（2）根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可； （3）证明点P在直线y＝
上运动，再利用轴对称的性质解决最短问题即可．
解：（1）∵点A（﹣1，0）， ∴OA＝1，
在Rt△AOC中，∠CAB＝60°， ∴∠ACO＝30°， ∴AC＝2AO＝2，OC＝∴C（0，
），
）代入抛物线y＝ax2+bx+c中得：
，
把点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣
x2+x+．
（2）如图1中，连接DG，AF．
∵A（﹣1，0），C（0，∴D（﹣，
），
），B（3，0），AD＝DC，
∴直线CB的解析式为y＝﹣设F（m，﹣
m+
），
x+，
∵四边形ADGF是平行四边形， ∴AD＝FG，AD∥FG， ∴G（m+，﹣
m+
）， x2+
x+
，得到，﹣
m+
＝﹣
2
+（m+）
把点G的坐标代入y＝﹣（m+）+
，
解得m＝或， ∴G（1，
（3）如图，过点M作MT⊥AB于T，过点N作NJ⊥AB于J，过点P作PH⊥AB于H，
）或（2，
）．
连接BM．设AE＝t，则EB＝4﹣t．
∵EM＝EB，∠MEB＝60°， ∴△MEB是等边三角形， ∵MT⊥EB， ∴MT＝
（4﹣t），
∵∠AEN＝∠EAN＝60°， ∴△ANE是等边三角形， ∵NJ⊥AE， ∴NJ＝
t，
∵NJ∥PH∥MT，NP＝PM， ∴JH＝HT，
∴PH＝（NJ+MT）＝
，
，
于P′，连接P′A，此
∴点P的运动轨迹是直线y＝作点A关于直线y＝
是对称点A′，连接A′B交直线y＝
时P′A+P′B的值最小， 最小值＝A′B＝
＝2
．
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