双等边三角形

一、 双等边三角形模型

1.如图，点C在线段BD上，△ABD与 △ACE都为等边三角形，求∠BDE的度数．

2.如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形， 连接CD、BE．求证：CD=BE．

1. （1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角

形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

D

O 图7

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

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C E B

A

B

C

E A O

D 图8

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3.如图，分别以△ABC的边AB，AC向外 作等边三角形ABD和等边三角形ACE， 线段BE与CD相交于点O，连接OA． （1）求证：BE=DC； （2）求∠BOD的度数； （3）求证：OA平分∠DOE．

2. 已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB的度数。

③ 若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。（湘潭·中考题）

N M O Q P B A C

4.如图，△ABC是等边三角形，D是 AB边上的一点，以CD为边作等边三 角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧， 连接AE．求证：AE∥BC．

同类变式： 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

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3. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：

CDBE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证

明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请

给出证明，若不是，请说明理由．

图9 图10 图11

同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，

BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BECD；②AMAN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. B

24．如图，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．

（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由． （2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，问△CMN是否是等边三角形？若是请你说明理

图①

C M N A E D B M E

图② C N D A 精彩文档

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由；若不是，请给出你的正确结论，不必证明．

24．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．

(1)E、F移动时，△BEF的形状如何? (2)E点在何处时，△BEF面积的最小值．

16．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

4、 如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．

(1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF是等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．

8、如图所示，△ABC和△CDE是等边三角形，E是AC延长线上一点，M是AD的中点，N是

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BE的中点，试说明：△CMN是等边三角形。

ENCMBDA

1.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.

AE CB

M P22题

2、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：

（1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

NN MO 图①

FEE CBBAC图② OMF A

5.已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BECD；②AMAN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. C C N E N D A B M M D B A E

图② 图① 精彩文档

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6.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△B CPQ为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD

D O 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

P Q

A E C A

D G E

△ABC是等边三角形，10.已知：如图，过AB边上的点D作DG∥BC，交ACC B F 于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AE，CD．

（1）求证：△AGE≌△DAC；

（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

11、如图１，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由． E

G

A D

C B

（图１）

9如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； B ② PQ∥AE；

O D ③ AP=BQ；

④ DE=DP； P Q ⑤ ∠AOB=60°．

E C A

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

，1、在△ABC中，ABBC2，ABC120°将△ABC绕点B顺时针旋转

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角(0°结论；

90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，AC11分别交AC、BC于D、F两

点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的

C D F C C1

A1 E D A1 A F C1

E A B B

2. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

A 3.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边

经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF相交于点F.

⑴ 如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

① 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； ② 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

，已知Rt△ABC中，ACBC，∠C90，D为AB边的中点，EDF90°

EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证S△DEFS△CEFC F E D B

1S△ABC． 2当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． A A

D E E

B C

F C

图1

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A D D C

F 图2

B

E

图3

B F

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1.已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E. 求证:AB=AC+BD.

2.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，

①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．

②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明． ③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

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