江西省师大附中、鹰潭一中2012届高三4月联考数学(理)试题

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式V球R3 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

i20111．复数（i为虚数单位）的虚部是（ ）

2i1A．i 2．设tan4315 B．

1 5 C． i

15 D．

1533,,则sincos的值（ ） 3213131313A． B． C． D． 222222223．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若x21，则x1”的否命题为：“若x21，则x1”． B．“x1”是“x25x60”的必要不充分条件． C．命题“存在xR，使得x2x10”的否定是：“对任意xR，均有x2x10”． D．命题“若，则sinsin”的逆否命题为真命题．

4．某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（ ）

5．右面是“二分法”求方程x33x10在区间(0,1)上的近似解 的流程图．在图中①~④处应填写的内容分别是（ ） A．f(a)f(m)0;am；是；否 B．f(b)f(m)0;mb；是；否

C．f(b)f(m)0;bm；是；否 D．f(b)f(m)0;bm；否；是

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

6．已知数列an的通项公式是ann12n32，其前n项和是Sn，对任意的m,nN 且

2mn，则SnSm的最大值是（ ）

A．21 B．4 C．8 D．10

7．已知双曲线mx2ny21(m0,n0)的离心率为2，则椭圆mx2ny21的离心率为（ ） A．

1x13 B．3 3 C．6 3 D．23 38．函数ycosx在坐标原点附近的图象可能是（ ）

9．如右图，给定两个平面向量OA和OB，它们的夹角为120，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且OCxOAyOB（其中x,yR），则满足xy2的概率为（ ） 3 A．21 B． C． D．

4414310．已知函数yf(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x(,0)时，xf(x)f(x)成立（其

中f(x)是f(x)的导函数），若a3f(3)，b(lg3)f(lg3),c(log2)f(log2)，则a,b,c的大 C．abc D．acb

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上

a161)的展开式中的常数项为160,则(x)dx= . 11.若二项式(ax1xx12．如果函数f(x)sin(x)(0)在区间(1,0)上有且仅有一条平行于y轴的对称轴，则

414小关系是（ ） A．cab B．cba 的取值范围是 ．

xy„013．已知实数x,y满足xy5…0，若不等式a(x2y2)„(xy)2恒成立，则实数a的最大值

y3„0是________________．

14．已知三棱锥OABC，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

B A M O P  N C 长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在OBC内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面OAB、OBC、OAC围成的几何体的体积为 ．

三、选做题（本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分）

15．①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点P(1cos,sin)，参数[0,]，点Q在曲线C：92sin()4上，则点P与点Q之间距离的最小值为 ．

②（不等式选讲选做题）若存在实数x满足|x3||xm|5,则实数m的取值范围是___．

四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）已知函数f(x)3sinxcosxcos2x，xR.

（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；

（2）设ABC的内角A,B,C的对边分别a,b,c,且c3,f(C)0，若sin(AC)2sinA，求a,b的值． 17．（本小题满分12分）

目前南昌市正在进行师大地铁站点围挡建设，为缓解北京西路交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：

12（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图；

（2）若从年龄在15,25,25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

DAB60．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EFAC,EFACO．沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABFED．

（1）求证：BD平面POA；

（2）设点Q满足AQQP(0)，试探究：当PB取得最小值时，直线OQ与平面PBD所成

角的大小是否一定大于？并说明理由．

4

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

19．（本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足2anSn1,nN*. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）在数列{an}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{bn}，在an和an1两项之间插入n个数，使这n2个数构成等差数列，求b2012的值

（3）对于（2）中的数列{bn}，若bman，并求b1b2b3bm（用n表示）．

20.（本小题满分13分）

x2y21设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，离心率为，在x轴2ab负半轴上有一点B，且BF22BF1.

（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线x3y30相切，求椭圆C的方程；

（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由． 21．（本题满分14分） 已知mR，函数f(x)mxm11lnx,g(x)lnx. xx （1）求g(x)的极小值；

（2）若yf(x)g(x)在[1,)上为单调增函数，求m的取值范围； （3）设h(x)2e，若在1,e（e是自然对数的底数）上至少存在一个x0，使得xf(x0)g(x0)h(x0)成立，求m的取值范围．

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

高三数学（理）参考答案

一、选择题 题号 1 答案 B

二、填空题 11．2 A

3 D

4 D

5 C

6 D

7 C

8 A

9 B

10 A

422ln2 312．15, 4413．

25 13 14．

 6三、选做题

15．①42-1 ②(2,8) 四、解答题

16．解析：（1）f(x)31cos2x1sin2xsin(2x)1……………．3分 22262………………………………………………6分 2 则f(x)的最大值为0， 最小正周期是T （2）f(C)sin(2C6)10则sin(2C6)1 0C02C262C611 62C62C3

sin(AC)2sinA由正弦定理得 由余弦定理得c2a2b22abcos 即a2b2ab9② 由①②解得a17．解：（1） a1①………………………………9分 b23

3 b23………………………………………12分

（2）所有可能取值有0，1，2，3，

2C82C462884P(0)22，

C5C101045225

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

P(1)CCCCC4286161042CCCC10104510452251425282102425181211122C8C2C4C4C24166135 P(2)2222C5C10C5C101045104522512C4C2412………………………………………………10分 P(3)22C5C101045225所以的分布列是  P

0 1 2 3

84104235 2252252252241047064所以的期值是E0……………………………………12分 225225225518．解：（1）证明：∵ 菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BDAC，∴BDAO， ∵ EFAC，∴POEF． ∵ 平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF平面ABFEDEF，且PO平面PEF， ∴ PO平面ABFED, ∵ BD平面ABFED，∴ POBD． ∵ AOPOO，∴ BD平面POA．……………………………… 4分 （2）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz． 设AOBDH. 因为DAB60，所以BDC为等边三角形， 故BD4，HB2,HC23．又设POx，则OH23x，OA43x． 所以O(0,0,0)，P(0,0,x)，B(23x,2,0)， 故 PBOBOP(23x,2,x)， 所以PB(23x)222x22(x3)210， 当x3时，PBmin10．此时PO3，………………………………6分 设点Q的坐标为a,0,c，由（1）知，OP3，则A(33,0,0)，B(3,2,0)，D(3,2,0)，

P(0,0,3)．所以AQa33,0,c，QPa,0,3c， a33a, ∵AQ=QP， ∴． c3c333333∴Q(,0,)，∴OQ(,0,)． 10分 1111设平面PBD的法向量为n(x,y,z)，则nPB0,nBD0． ∵PB3x2y3z0, 3,2,3，BD0,4,0，∴4y0z1， 所以x1，解得：y0,取

n(1,0,1)．……………………………… 8分 设直线OQ与平面PBD所成的角， OQn∴sincosOQ,nOQn

333112(33232)()113292

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

96216．……………………………………………… 10分 1299222又∵0∴sin． ∵[0,]，∴．

224因此直线OQ与平面PBD所成的角大于，即结论成立．……………………………12分

419．解：（1）当n1时，由2a1S11a11.又2an1Sn11与2anSn1相减得： 12an12an，故数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以an2n1；…………4分

（2）设an和an1两项之间插入n个数后，这n2个数构成的等差数列的公差为dn，则 an1an2n1，又(12361)611952,2012195260，故dnn1n1261616261b2012a62(601)d622592.……………………………… 8分 6363（3）依题意，b1b2b3bm

(n1)(an1an)3(a1a2)4(a2a3)5(a3a4)(a2a3an1) 2222113a15a27a3(2n1)annan，考虑到an12an， 22令M3a15a27a3(2n1)an，则2M3a25a37a4(2n1)an1 2MM2(a1a2a3an)a1(2n1)an1M(2n1)2n1， 111所以b1b2b3bmMnan(3n2)2n2.………………………… 12分

222c1120．解：（1）由题意，得ca，所以F1F2a

a22又AF1AF2a 由于BF22BF1，所以F1为BF2的中点，

所以AF1AF2F1F2a a,0)，半径rF1Aa…………………3分 2又过A、B、F2三点的圆与直线g:x3y30相切，

所以ABF2的外接圆圆心为F1(1a32a解得a2，c1,b2a2c23. 所以2x2y21 …………………………………………………… 6分 所求椭圆方程为43（2）有（1）知F2(1,0),设l的方程为：yk(x1)

将直线方程与椭圆方程联立

yk(x1)2,整理得（34k2）x28k2x4k2120 xy2134设交点为M(x1,y1),N(x2,y2)，因为34k20

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

8k,y1y2k(x1x22)……………………………………8分 234k若存在点P(m,0)，使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，

则x1x2由于菱形对角线垂直，所以(PMPN).MN0

2又PMPN(x1m,y1)(x2m,y2)(x1x22m,y1y2) 又MN的方向向量是(1,k)，故k(y1y2)x1x22m0，则

8k28k22)2m0 k(x1x22)x1x22m0，即k(2234k34kk21由已知条件知k0且kR,m………………………11分 334k242k110m，故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0,)………………13分

442211x12，∴当0x1时，g(x)0；当x12xxx时，g(x)0，所以，g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,)上是增函数，故21．解：（1）由题意，x0，g(x)g(x)极小值g(1)1． …………………………………………………………………4分

mx22xmm∴[f(x)g(x)]（2） ∵f(x)g(x)mx2lnx，，由于f(x)g(x)在[1,)x2x2x内为单调增函数，所以mx22xm0在[1,)上恒成立，即m在[1,)上恒成立，

1x22x故m()max1，所以m的取值范围是[1,)．…………………9分 1x2m2e（3）构造函数F(x)f(x)g(x)h(x)mx2lnx， xxm2e当m0时，由x1,e得，mx0，2lnx0，所以在1,e上不存在一个x0，使

xx得f(x0)g(x0)h(x0)． m22emx22xm2e当m0时，F(x)m22，因为x1,e，所以2e2x0，

xxxx2mx2m0，所以F(x)0在[1,)上恒成立，故F(x)在1,e上单调递增，

m4，所以要在1,e上存在一个x0，使得F(x)0，必须且只需em4e4e，故m的取值范围是(2,)．…………………14分 me40，解得m2ee1e1另法:（Ⅲ）当x1时，f(1)g(1)h(1)． F(x)maxF(e)me当x(1,e]时，由f(x)g(x)h(x)，得 m2e2xlnx2e2xlnx， 令，则G(x)x21x21(2x22)lnx(2x24ex2)4e，所以在上递减，． G(x)(1,e]G(x)0G(x)G(e)min(x21)2e21综上，要在1,e上存在一个x0，使得f(x0)g(x0)h(x0)，必须且只需m

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有

4e． e21……………………………………………………………………………………………14分

中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有