２０１４年４月解法情境“提纯”——函数压轴题求解的有效策略⑩江苏省如皋市港城实验学校吴光华一、写在前面在中考中，压轴题一般是指试卷的最后一题，而真正“压轴”的往往是这一题的最后一问或两问，这一两问也就成为了压轴题教学的重点．近几年来，以函数为背景的压轴题层出不穷，此类试题的压轴问题有着复杂的数学背景，灵动的图形变换，丰富的知识内涵．在解答时，很多学生会被试题的丰富情境所“扰”，无法捕捉到有用的解题信息，让这些压轴问题成为难以逾越的“鸿沟”．面对学生迷离的眼神，笔者一直在探索函数压轴题的求解策略，但由于压轴题变化很多，根本没有统一而有效的解题策略．在笔者探究过程中，发现解答此类试题的“压轴问题”都必须经历一个重要的环节—一隋境“提纯”，也就是随着解题的进程，需要将与解决“压轴问题”无关的信息从原来的图形与文字中分离出去，留下有用的、可用的文字和图形两方面的信息．为了将这一解题策略进行推广，本文就结合一道函数压轴题的解答过程谈谈情境“提纯”策略，以期对您的教学或解题有所帮助，不当之处，敬请指正．二、一道压轴题的解题分析１．原题呈现１’如图１，二次函数），＝÷石２＋ｈ一÷ＤｙＺ二虹年｜的图像与确扫交于点４（一３，Ｏ）和点Ｂ，以Ａ曰为边，在戈轴上方作正方形ＡＢＣＤ，点腥确扫上一动点，连接卯，夕＜Ｐ形、＼√ｏ／Ｂ；过点Ｐ作ＤＰ的垂线与祷由交于点Ｅ．（１）请直接写出点Ｄ的坐标：——；图１（２）当点Ｐ在线段ＡＤ（点Ｐ不与Ａ、Ｄ重合）上运动至何处时，线段ＤＥ的长有最大值，求出这个最大值；（３）是否存在这样的点Ｐ，使△肿是等腰三角形？若存在，请求出点Ｐ的坐标及此时△咫Ｄ与正方形ＡＢＣＤ重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．万方数据２．试题分析本题是２０１３年江苏省徐州市中考最后一题，处于全卷的压轴位置，是一道建构在二次函数背景上的综合题．重点考查了待定系数法、一次函数的图像及性质、二次函数的图像及性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定及性质等知识，还考查了数形结合、分类讨论、建模等数学思想．细细分析本题，第（１）问涉及的知识点不多，难度不大，学生很容易给出答案，该小题很明显起不到压轴作用，真正起到能区分作用的是第（２）、（３）问．尤其是第（３）问，既要判断“瞧的存在性”，还要“求出点Ｐ的坐标”及“两个图形重叠部分的面积”，对学生的知识提取和应用能力要求较高，凸显试题的压轴作用．高难度的求解要求，加之复杂的问题情境，在丰富的图形和文字信息的“帮衬下”，让题目的解答显得非常困难．对学生来说，化解这道试题的压轴问题，充足的知识、扎实的技能和良好的习惯都是不可缺失的．弱化无关条件干扰的能力，将直接影响着试题解答的效果．３．情境“提纯”基于上述分析，在教学过程中，为了培养学生分析问题和解决问题的能力，笔者在解决问题（２）和问题（３）前引导学生分别对这两个问题进行了情境“提纯”．现将“提纯”后的情境呈现如下：ｙ（２）女口图２，Ａ（一３，０），Ｄ（一３，４），Ｄ为坐标原点．点脏线段ＡＤ（点环与Ａ、Ｏ重合）上运动，过点Ｐ作ＤＰ的垂线与ｙ夕一步，Ａ尸０髫轴交于点Ｅ当点髓到至何处时，线段ＤＥ的长有最大值，求出这个最大值．图２（３）如图３，基于（２）的条件，若点ＰＤＩ！：、在髫轴上运动，过点Ｐ作ＤＰ的垂线与，，轴交于点Ｅ是否存在这样的点Ｐ，使Ｋ一乒、互点Ｐ的坐标及此时△肿与正方形△肿是等腰三角形？若存在，请求出ＡＰ０Ｂ匿３４．“提纯”说明解答第（２）问，显然不需要用到题干中所给的二次函初中版中。７擞．７—■ｌＡＢＣＤ重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．法探究数，因此，提纯情境时，在从文字中删除了二次函数的解析式的同时，还从图形中删除了抛物线．由于“点尸在线段Ａ０（点环与Ａ、Ｄ重合）上运动”，运动过程与点Ｂ没有任何关系，与线段曰Ｃ和ＣＤ也没有关系．因此，在解答第（２）问之前，笔者将与这些信息相关的文字和图形一并删去，只留下“提纯”后的问题隋境和图２中的图形信息．解答第（３）问，同样用不到二次函数，图３中没有出现题干中的抛物线也就是这个原因．基于对第（３）问的阅读与分析，该小题是第（２）问的变式，也是第（２）问解法的自然延伸，点Ｐ由“在线段ＡＤ（点环与Ａ、０重合）上运动”拓展到了“在石轴上运动”，Ｐ点运动范围的扩大，让符合题意的“等腰三角形△船Ｄ”会有多种可能，也就决定了Ｐ点会出现多个符合题意的位置．此外，题目还提出了求“△雕泐与正方形Ａ日ＣＤ重叠部分的面积”的解题要求，这就要求正方形Ａ日∞应全部出现，才能准确找出重叠部分的形状并求出其面积．这样一来，第（３）问的文字信息和图形信息也就会比第（２）问要复杂一些了．５．解题过程（２）设融＝ｆ，叩＝ｆ，利用△ＤＡＰ一△Ｐ叩得到比例式÷＝÷，从而得到与两个变量ｆ与ｆ之间的函数关系式为，ｊ—ｆＺｚ一｛冉号ｚ．配方得ｚ＝一｛卜寻）２＋景，所以当拄丢时，ｚ有最大值三，即助ＡＤ的中点时，ｏＥ的最大值为三．１０ｌＯ（３）存在．根据点Ｐ所在的位置，分两种情况讨论：①如图４，当点脏），轴左侧时，点Ｐ的坐标为（＿４，０）．由△以Ｄ錾△ＥＤＰ得ＤＥ＝以＝ｌ，所以ＯＰ＝４．因为△ＡＤＧ一ＵＣ△ｏ崛所以篙＝等“所以ＡＧ＝，Ｎ蕊、、Ｂ互Ｅ詈ＡＤ＝詈．故重叠部分的面积为｛×４×图４里一丝５—５‘难～②如图５，当点脏），轴右侧时，点Ｐ际《，．的坐标为（４，０），参照①的步骤可求得重叠部分的面积为罢．“７．４、０图５三、“提纯”感悟１．去繁余简。留下关键信息在中考命题时，压轴题的问题设置一般为递进式和并列式两种．不管问题的呈现采用哪一种方式，问题之间总存在着一些关联．这些关联，也就让试题的解答有着明显的梯度，在问题“渐进”化解的过程中，那些成为“历史”的条件，不应成为学生深入探究的“障碍”．因此，万方数据２０１４年４月在解决压轴问题时，我们应详细研读所给的条件和问题，理清条件与前后问题之间的关系，将解决“压轴问题”需要用到的条件重新整理，形成新的问题情境．新的问题情境，应建立在原有情境基础之上，是对原有问题情境的一种“扬弃”，留下的条件应是化解问题所必须的，这些条件有的是原题中的条件，有的是已经得出的结论，有些是设问新增的．这样的“提纯”，是学生解读试题、获取思路的过程．以上面的第（２）问为例，原题干中１２的条件很多，既有二次函数，，＝÷戈２＋如一÷，又有正方形２ＺＡ曰ＣＤ，而解答第（２）问实际只需要点Ａ，Ｄ的坐标即可，因此，在提纯的情境中，学生可以将原来的题干进行了删减，将‘么（～３，０），Ｄ（一３，４），Ｄ为坐标原点”作为条件呈现，去除了原来的繁杂的题干条件，排除了无关条件的“干扰”，留下的条件直接指向了本题的解题目标，为学生获得解决问题的方法打开了一扇门．２．原图新作．删去多余图形压轴题解答，复杂的图形中每一根线都会影响着学生的思维．有时，图形中一条对解题起不到作用的线的存在，就会影响解题思路的形成，给问题的分析带来无尽的“烦恼”．因此，在解答压轴问题时，我们应对原图中的点与线进行合理选择，将与问题情境无关的点与线从图形中删除，留下必须的．这样一来，必要的图形重建是必须的，重新作图，让新的图形紧贴问题情境，便于学生形成正确的解题思路．以上面的图２，３为例，第（２），（３）１２问的解答与二次函数，，＝÷戈ｚ＋６戈一÷没有关系，因此，在２２情境提纯时，笔者引导学生删去了原来的抛物线．在图２中，由于解决第（２）问根本不需要用到这个正方形除脚以外的其他边，所以笔者引导学生删去了用不到的边和顶点，呈现出了正方形Ａ曰ｃＤ的局部，因而在新图形中，其余三条边也就没有呈现；但是到了第（３）问中，求“△阿Ｄ与正方形Ａ曰ＣＤ重叠部分的面积”，需要用到正方形Ａ曰ＣＤ，因此图３中，又将正方形补全了．显见，图形的呈现完全取决于解题的需要，不同的解题要求下，需要什么样的图形，我们就应将与具体情境配套的图形完整呈现出来，所给出的点和线不能多，多了给解题带来不必要的麻烦，当然也不能少，少了我们就无法求解．３．思想引领．强调数形结合数学思想是数学教学的重要内容，在日常学习中，我们就应该高度关注．几乎所有的压轴题都有着非常丰富的“思想内涵”，因此，在压轴问题的分析与求解过程中，我们应高度重视其中可能渗透到的数学思想，用思想引领解题思路的分析．情境“提纯”的过程，实际上就是学生应用各种数学思想去分析问题的过程．在以函数为背景的压轴题中，一般都会渗透数形结合、分类讨论、方程、函数、运动变换等数学思想．情境“提纯”，用到最多的也就■■－寸。７擞．７初中版２０１４年４月解法题激起千层浪万流归宗能力成——对充分挖掘题目教学功能的案例剖析与反思◎浙江省绍兴市建功中学曹青《全日制义务教育数学课程标准（２０１１年版）》强调四基四能（四基，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；四能，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力），关注学生的学习兴趣与习惯，倡导创新型和应用型人才的培养．要实现这些目标，离不开过问题：在直角三角形中，如果一个锐角等于３００，那么它所对的直角边等于斜边的一半．首先把问题符号化：已知，如图ｌ所程与方法教学，没有充分展开问题教学的时间和空间是不行的，在中考系统复习阶段时间紧任务重的情况下更是如此．本文深入分析一例，从中获得教学启示．示，在Ｒｔ△Ａ曰Ｃ中，［ＡＣＢ＝９０。，￡鲋Ｃ＝Ｒ１Ｃ３０ｏ．求证：ＢＣ＝二Ａ曰．图１在学生眼里，此定理应用广泛，早已了然于胸．中考复习时施以“多证”，学生们切人容易，方法众多，堪称“一题激起千层浪”．由之理顺解题规律，水到渠成，自然流畅．（一）截长补短法顾名思义，“截长法”即在长线段上截下一段，使之一、教学案例出于问题引领系统复习教学的考虑，在充分研究的基础上，我们设计了一节以一题多解为特征的几何复习课，达到了良好效果．是上述思想中的“数形结合”．在学生求解过程中，只有将压轴问题中的文字语言与图形信息结合起来分析，充分利用“以形助数”和“以数解形”两种策略，将问题的情境进解题经验的积累．“提纯”，剔除了干扰情境，让生成的新情境直接指向解题目标，提纯过程中，很多学生能透过“复杂情境”获得问题解决的“路径”，这就是“提纯”的不断“提纯”，才劁颐利获得问题解决的思路，让压轴问题的“压轴价值”真正实现．本文中所述的这道压轴题，蕴含着丰富的数学思想，每一个问题的解决，都涉及路径的化作用．以上所述，虽然经历笔者的多轮尝试，取得了一定的教学成效，但基于不同学情进行教学应用可能会产生不同的成效，本文中所述的方法权作压轴题教学的“引归和模型的建构．作为例题，笔者突出了其中的数形结合思想，让学生的探究在这一思想的引领下不断深入下去．提纯的过程，不断巩固着学生对题中蕴含思想方法的认知，学生经历了问题情境的提纯，对解题所需要的条件与玉之砖”吧，欢迎各位同行专家对笔者的做法提出意见和建议．参考文献：１．印冬建．设计源于需求最终要达成的解题目标有了深刻的认知，合适的解题方法自然会在学生脑海中及时生成．改编呈现价值——由一次例题设计评比活动说起［Ｊ］．中学数学教学参考（中），２０１３（１０）．四、结束语压轴问题的解答虽然棘手，但只要解题时能精心研２．中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．３．夏再迅．试题改编需要理解深层结构［Ｊ］．中学数学（下），２０１３（１２）．４．沈岳夫．提炼基本图形读问题，对问题的情境进行必要的“技术处理”，做好精准的取舍整合，就一定能发现解决问题的路径．情境“提妙解面积问题［Ｊ］．中国数纯”作为一个解题技术，需要在强化训练中不断巩固提升．在日常教学中，我们应借助压轴题的教学，多呈现此类范例，鼓励学生通过解题的实战演练，反复应用以促学教育（初中版），２０１３（６）．５．朱广科．以二次函数为背景的存在性问题例析［Ｊ］．中国数学教育（初中版），２０１３（１０）．衄初中版寸’７载－？■●—■●■万方数据