2016年考研数学三真题及解析

2022-11-08 来源：华佗健康网

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2016年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim1nn1nn______.

fx（2）设函数f(x)在x2的某邻域可导,且fxe（3）设函数f(u)可微,且f0（4）设矩阵A，f21，则f2____.

1,21,则zf4x2y2在点(1,2)处的全微分dz2_____.

21，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则B . 12（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则PmaxX,Y1_______. （6）设总体X的概率密度为fx2样本方差为S，则ES____.

21xex,X1,X2,2,Xn为总体X的简单随机样本，其

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号.

（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则

(A) 0dyy. (B) 0ydy.

（8）设函数fx在x0处连续，且limh0fh2h21，则

(A) f00且f0存在 (B) f01且f0存在

an1nn收敛，则级数

(A)

an1收敛 . （B）

(1)n1nan收敛.

(C)

anan1收敛. (D) n1anan1收敛. [ ] 2n1 . . . .

. . . .

（10）设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）Cy1(x)y2(x). （Ｂ）y1(x)Cy1(x)y2(x).

（Ｃ）Cy1(x)y2(x). （Ｄ）y1(x)Cy1(x)y2(x) [ ]

（11）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (B) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (C) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

(D) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. [ ] （12）设1,2,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是

,s线性相关，则A1,A2,,s线性相关，则A1,A2,,s线性无关，则A1,A2,,s线性无关，则A1,A2,,As线性相关. ,As线性无关. ,As线性相关.

,As线性无关. [ ]

(A) 若1,2,(B) 若1,2,(C) 若1,2,(D) 若1,2,（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记

110P010，则

001（Ａ）CPAP. （Ｂ）CPAP.

（Ｃ）CPAP. （Ｄ）CPAP. ［］（14）设随机变量X服从正态分布N(1,1)，Y服从正态分布N(2,2)，且

2211TTPX11PY21

则必有

(A) 12 (B) 12

. . . .

设fx,yyy,x0,y0,求 1xyarctanxy1ysinx(Ⅰ) gxlimfx,y；

gx. (Ⅱ) limx0（16）（本题满分7分）计算二重积分

Dy2xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M1,0，其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为（19）（本题满分10分）

8时，确定a的值. 31x2n1求幂级数的收敛域及和函数s(x). n2n1n1n1（20）（本题满分13分）

设4维向量组11a,1,1,1,22,2a,2,2,33,3,3a,3, 44,4,4,4a，问a为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量11,2,1,20,1,1是线性方程组

TTTTTTAx0的两个解.

(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QAQ；

T3（Ⅲ）求A及AE，其中E为3阶单位矩阵.

2 . . . .

6 . . . .

（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

12,1x01fXx,0x2，

40,　其他令YX2,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ)求Y的概率密度fYy； (Ⅱ)Cov(X,Y)；

(Ⅲ)F1,4. 2（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

,0x1,fx;1,1x2,

0,其他,其中是未知参数01，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数.

（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计

. . . .

2006年考研数学（三）真题解析

二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim1nn1nn1.

lnN 【分析】将其对数恒等化Ne求解.

(1)nn1 【详解】limnn1nlimenn1lnnen1lim(1)nlnnn，

n1n1nln0lim(1)ln 而数列(1)n有界，lim，所以0. nnnn 故 lim

n1nn1ne01.

（2）设函数f(x)在x2的某邻域可导,且fxe 【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，fxefxfx，f21，则f22e3.

，两边对x求导得

fx2fx fxef(x)e，

两边再对x求导得 f(x)2e故 f(2)2e

（3）设函数f(u)可微,且f03f22fxf(x)2e3fx，又f21，

2e3.

1,则zf4x2y2在点(1,2)处的全微分dz24，

2，

1,24dx2dy.

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为

zxzy(1,2)f(4x2y2)8x(1,2)

(1,2)f(4x2y2)2y(1,2) 所以 dz1,2zx1,2dx22zydy4dx2dy. 1,2 方法二：对zf4xy微分得

. . . .

dzf(4x2y2)d(4x2y2)f(4x2y2)8xdx2ydy，故 dz1,2f(0)8dx2dy4dx2dy.

21（4）设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则B 2 .

12【分析】将矩阵方程改写为AXB或XAB或AXBC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】由题设，有

B(AE)2E

于是有 BAE4，而AE

11112，所以B2.

（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则

1PmaxX,Y1 .

9【分析】利用X与Y的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X与Y具有相同的概率密度

1,　　0x3 f(x)3.

0,　　　其他则 PmaxX,Y1PX1,Y1PX1PY1

PX12111dx. 0392

【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

. . . .

则 PmaxX,Y1PX1,Y1（6）设总体X的概率密度为fx2样本方差为S，则ES2.

2S阴1. S91xex,X1,X2,2,Xn为总体X的简单随机样本，其

【分析】利用样本方差的性质ESDX即可. 【详解】因为

2EXxf(x)dx22xxedx0， 2x2xedxx2exdxx2ex020EXxf(x)dxx0020xexdx

2xe22exdx2ex02，

所以 DXEXEX202，又因S是DX的无偏估计量，

22所以 ESDX2.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号.

（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则

(A) 0dyy. (B) 0ydy.

[ Ａ ]

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】由f(x)0,f(x)0知，函数f(x)单调增加，曲线

2yf(x)凹向，作函数yf(x)的图形如右图所示，显然当x0时，

ydyf(x0)dxf(x0)x0，故应选(Ａ).

（8）设函数fx在x0处连续，且limh0fh2h21，则

(A) f00且f0存在 (B) f01且f0存在

. . . .

(C) f00且f0存在 (D)f01且f0存在 [ C ] 【分析】从limh0fh2h21入手计算f(0)，利用导数的左右导数定义判定f(0),f(0)的存在性. 1知，limfh20.又因为fx在x0处连续，则

h0 【详解】由limh0fh2h2 f(0)limf(x)limfhx0h00.

2 令th，则1limh02fh2h2limt0ftf(0)f(0).

t 所以f(0)存在，故本题选（C）. （9）若级数

an1nn收敛，则级数

(A)

an1收敛 . （B）

(1)n1nan收敛.

(C)

anan1收敛. (D) n1anan1收敛. [ Ｄ ] 2n1【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由

an1n收敛知

an1n1收敛，所以级数

anan1收敛，故应选(Ｄ). 2n1 或利用排除法：取an(1) 取an(1)nn1，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）； n1，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. n（10）设非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）Cy1(x)y2(x). （Ｂ）y1(x)Cy1(x)y2(x).

（Ｃ）Cy1(x)y2(x). （Ｄ）y1(x)Cy1(x)y2(x) [ Ｂ ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于y1(x)y2(x)是对应齐次线性微分方程yP(x)y0的非零解，所以它的通解是

. . . .

YCy1(x)y2(x)，故原方程的通解为

yy1(x)Yy1(x)Cy1(x)y2(x)，故应选(Ｂ).

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

yy*Y.

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，Y是对应齐次微分方程的通解.

（11）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且y(x,y)0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (B) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. (C) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

(D) 若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. [ Ｄ ]

【分析】利用拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)在(x0,y0,0)（0是对应x0,y0的参数的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)，并记对应x0,y0的参数的值为0，则

F(x,y,)0f(x,y)(x,y)0x000x000x00 ，即 .

Fy(x0,y0,0)0fy(x0,y0)0y(x0,y0)0消去0，得

fx(x0,y0)y(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0, 整理得 fx(x0,y0)1y(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0).（因为y(x,y)0），

若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.故选（Ｄ）. （12）设1,2,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是

,s线性相关，则A1,A2,,s线性相关，则A1,A2,,As线性相关. ,As线性无关.

(A) 若1,2,(B) 若1,2, . . . .

. . . .

,As线性无关. [ A ]

【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记B(1,2,所以，若向量组1,2,线性相关，故应选(Ａ).

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记

,s)，则(A1,A2,,As)AB.

,As也

,s线性相关，则r(B)s，从而r(AB)r(B)s，向量组A1,A2,110P010，则

001（Ａ）CPAP. （Ｂ）CPAP.

（Ｃ）CPAP. （Ｄ）CPAP. ［Ｂ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

TT11110110110110 B010A,　　　CB010010A010，

00100100100111011而 P010，则有CPAP.故应选（Ｂ）.

001（14）设随机变量X服从正态分布N(1,1)，Y服从正态分布N(2,2)，且

PX11PY21 则必有

(A) 12 (B) 12

【详解】由题设可得

22X1Y211PP，

1212 . . . .

. . . .

则 21111，即121. 1212 其中(x)是标准正态分布的分布函数. 又(x)是单调不减函数，则

故选(A).

三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）

1112，即12.

设fx,yyy,x0,y0,求 1xyarctanxy1ysinx(Ⅰ) gxlimfx,y；

gx. (Ⅱ) limx0 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含

第(Ⅰ)问的结果，含未定式极限.

,0型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用x1ysinyy  【详解】(Ⅰ) gxlimfx,ylimyy1xyarctanxxsiny111ylimy1xarctanxy11x. xarctanxarctanxxx211xgxlim (Ⅱ) lim （通分） limx0x0xarctanxx0xarctanx112x222arctanxxxx2x(1x)1xlimlimlim 2x0x0x0x2x2x2

. . . .

（16）（本题满分7分）计算二重积分

Dy2xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所围成的平面区域.

【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.

【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一次函数，“先x后y”积分较容易，所以

Dyxydxdydy021y0y2xydx

2122ydy 03932112yxy230yy0dy（17）（本题满分10分）

证明：当0ab时，

bsinb2cosbbasina2cosaa.

【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.

【详解】令f(x)xsinx2cosxxasina2cosaa,0axb，则 f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinx，且f()0. 又 f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，（0x时,xsinx0），

故当0axb时，f(x)单调减少，即f(x)f()0，则f(x)单调增加，于是

f(b)f(a)0，即

bsinb2cosbbasina2cosaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M1,0，其上任意点Px,yx0处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为

8时，确定a的值. 3 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定

参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L的方程为yf(x)，则由题设可得 yy1ax，这是一阶线性微分方程，其中P(x),Q(x)ax，代入通解公式得 xx11dxdx2 yexaxexdxCxaxCaxCx，

 . . . .

. . . .

又f(1)0，所以Ca.

故曲线L的方程为 yaxax(x0).

(Ⅱ) L与直线yax（a>0）所围成平面图形如右图所示. 所以

2Daxaxaxdx 02482 a2xxdxa，

033 故a2.

22 （19）（本题满分10分）

1x2n1求幂级数的收敛域及和函数s(x).

n2n1n1n1 【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂

级数展开式计算和函数.

(1)n1x2n1 【详解】记un(x)，则

n(2n1)(1)nx2n3u(x)2(n1)(2n1). limn1limxnu(x)n(1)n1x2n1nn(2n1) 所以当x1,即x1时，所给幂级数收敛；当x1时，所给幂级数发散；

2(1)n1(1)n当x1时，所给幂级数为，均收敛， ,n(2n1)n(2n1)故所给幂级数的收敛域为1,1

(1)n1x2n1(1)n1x2n在1,1，s(x)2x2xs1(x)，

n1n(2n1)n1(2n1)2nn12n1(1)x1,s1(x)(1)n1x2n2而 s1(x)， 22n11xn1n1所以 s1(x)s1(0)x0s1(t)dt101t2dtarctanx，又s1(0)0，

x于是 s1(x)arctanx.同理

. . . .

s1(x)s1(0)x0s1(t)dtx0arctantdt

t12， dtxarctanxln1x01t2212又 s1(0)0，所以 s1(x)xarctanxln1x.

2xtarctant0x故 s(x)2x2arctanxxln1x2.x1,1.

由于所给幂级数在x1处都收敛，且s(x)2x2arctanxxln1x2在x1 处都连续，所以s(x)在x1成立，即

s(x)2x2arctanxxln1x2，x1,1. （20）（本题满分13分）

【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a；用初等变换求极大线性无关组.

【详解】记以1,2,3,4为列向量的矩阵为A，则

TTTT1a A22a22333a34444a(10a)a3.

111 于是当A0,即a0或a10时，1,2,3,4线性相关.

当a0时，显然1是一个极大线性无关组，且221,331,441；当a10时，

1 2 3 4

92341834， A12741236 . . . .

. . . .

9 由于此时A有三阶非零行列式1282334000，所以1,2,3为极大线性无关组，且7112340，即4123.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量11,2,1,20,1,1是线性方程组

TTAx0的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得QAQ；

T3（Ⅲ）求A及AE，其中E为3阶单位矩阵.

2【分析】由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值和对应的特征向量；

由齐次线性方程组Ax0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A的

63线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由QAQ可得到A和AE.

2T6【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以

131 A1331，

131则由特征值和特征向量的定义知，3是矩阵A的特征值，(1,1,1)是对应的特征向量.对应

T3的全部特征向量为k，其中k为不为零的常数.

又由题设知 A10,A20，即A101,A202，而且1,2线性无关，所以0是矩阵A的二重特征值，1,2是其对应的特征向量，对应0的全部特征向量为 k11k22，其中

k1,k2为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为A是实对称矩阵，所以与1,2正交，所以只需将1,2正交. 取 11，

. . . .

10122,11320.

2261,111112再将,1,2单位化，得

 11113621221,2,30， 31126112361令 Q1,2,3，则QQT，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得

30. T QAQ030，所以 T （Ⅲ）由(Ⅱ)知 QAQ0T AQQ6131313162616112331006011226132606131111111. 6111123T3T3T QAEQQAEQQAQE 222323003263236232663E， 2632 . . . .

. . . .

333则AEQEQTE.

222（22）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

66612,1x01fXx,0x2，

40,　其他令YX,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

2(Ⅰ) 求Y的概率密度fYy； (Ⅱ) Cov(X,Y)；

(Ⅲ) F1,4. 2【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.

2【详解】（I）设Y的分布函数为FY(y)，即FY(y)P(Yy)P(Xy)，则

1) 当y0时，FY(y)0；

2) 当0y1时， FY(y)P(Xy)PyX 2y

0y113dxdxy. y204423) 当1y4时，FY(y)P(Xy)P1Xy1111 dxdxy.

1204420y

4) 当y4，FY(y)1. 所以

38y,0y11 fY(y)FY(y),1y4.

8y0,其他 . . . .

. . . .

（II） Cov(X,Y)Cov(X,X)E(XEX)(XEX)EXEXEX，

220x2x2x5x12dxdx，而 EXdxdx，EX120412046422232032xx37dxdx， EX1204830所以 Cov(X,Y)(Ⅲ) F7152. 8463111,4PX,Y4PX,X24

22211PX,2X2P2X

2212111dx. 242016年考研各科目专用题库复习和考试软件

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. . . .

（23）（本题满分13分）

设总体X的概率密度为

,0x1,fx;1,1x2,

0,其他,其中是未知参数01，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数.

（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计

【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.

【详解】（Ⅰ）因为EX令

xf(x;)dxxdxx1dx01123， 233X，可得的矩估计为 X. 22 （Ⅱ）记似然函数为L()，则

L()N个11nN个1N(1)nN.

. . . .

两边取对数得

lnL()Nln(nN)ln(1)，令

dlnL()NnNN0，解得为的最大似然估计.

nd1 . . . .

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2016年考研数学三真题及解析